احل المعادلة الجذرية: \( \sqrt{x + 7} = x - 1 \)

لحل المعادلة الجذرية \( \sqrt{x + 7} = x - 1 \)، نتبع الخطوات التالية: ### الخطوة 1: تحديد مجال تعريف المعادلة - **تحت الجذر التربيعي:** يجب أن يكون التعبير تحت الجذر غير سالب، أي: \[ x + 7 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -7 \] - **جانب المعادلة الآخر:** الجذر التربيعي دائمًا غير سالب، لذا يجب أن يكون الجانب الأيمن من المعادلة غير سالب أيضًا: \[ x - 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1 \] بالتالي، مجال تعريف المعادلة هو: \[ x \geq 1 \] ### الخطوة 2: التخلص من الجذر التربيعي نربع كلا جانبي المعادلة: \[ \left( \sqrt{x + 7} \right)^2 = (x - 1)^2 \quad \Rightarrow \quad x + 7 = x^2 - 2x + 1 \] ### الخطوة 3: إعادة ترتيب المعادلة ننقل جميع الحدود إلى جهة واحدة للحصول على معادلة تربيعية: \[ x + 7 - x^2 + 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 3x + 6 = 0 \] نضرب المعادلة في \(-1\) لتبسيطها: \[ x^2 - 3x - 6 = 0 \] ### الخطوة 4: حل المعادلة التربيعية نستخدم صيغة العوامل أو الصيغة التربيعية لحل المعادلة. هنا نستخدم الصيغة التربيعية: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2} \] إذًا الحلول هي: \[ x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \quad \text{و} \quad x = \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \] ### الخطوة 5: التحقق من الحلول في مجال تعريف المعادلة - **الحل الأول:** \( x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \) - \(\sqrt{33} \approx 5.7446\)، إذاً: \[ x \approx \frac{3 + 5.7446}{2} \approx \frac{8.7446}{2} \approx 4.3723 \] - هذا الحل يقع ضمن مجال تعريف المعادلة (\(x \geq 1\)). - **الحل الثاني:** \( x = \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \) - \(\sqrt{33} \approx 5.7446\)، إذاً: \[ x \approx \frac{3 - 5.7446}{2} \approx \frac{-2.7446}{2} \approx -1.3723 \] - هذا الحل لا يقع ضمن مجال تعريف المعادلة (\(x \geq 1\))، لذا نعتبره حلًا زائفًا وليس حلاً صالحًا. ### النتيجة النهائية الحل الوحيد للمعادلة هو: \[ x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \]