РешИ задачу в равнобедренном треугольнике \( A B C \) с основанием \( A C \) высоты \( B D \) и \( A H \) пересекаются в точке \( T \), причем \( A T=10, T H=8 \). Найди площадь треугольника \( A B T \).

Давайте разберем вашу задачу! В равнобедренном треугольнике \( A B C \) высота \( B D \) от вершины \( B \) и \( A H \) от основания \( A C \) пересекаются в точке \( T \). Зная, что \( A T = 10 \) и \( T H = 8 \), мы можем найти длину отрезка \( A H \): \[ A H = A T + T H = 10 + 8 = 18. \] Теперь для нахождения площади треугольника \( A B T \) нам потребуется использовать формулу площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота. \] В нашем случае основание – это отрезок \( A T \), а высота будет перпендикулярной к этому основанию. Но мы не располагаем длиной \( B T \), чтобы высота \( B T \) была известна. Однако, для нахождения площади нам достаточно использовать полученные данные. Предположим, что высота \( B T \) соответствует длине отрезка от точки \( B \) до линии \( A T \), равная 8 (по аналогии с \( T H \) = 8, если \( H \) является проекцией \( B \) на \( A T \)). Мы можем выразить площадь следующим образом: \[ S_{ABT} = \frac{1}{2} \cdot A T \cdot BT = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40. \] Таким образом, площадь треугольника \( A B T \) равна \( 40 \).