Let a be a nonzero vector in $$ \mathbb{R}^{2} $$. Define $$ \tau_{\mathbf{a}}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $$ by $$ \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{x})=-\mathbf{x}+2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a} $$ 2. Let a be a nonzero vector of $$ \mathbb{R}^{2} $$. Answer the following questions. (iii) Find the matrix $$ \left[\tau_{\mathbf{a}}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} $$ of $$ \tau_{\mathbf{a}} $$ with respect to $$ \mathcal{B} $$ and $$ \mathcal{B} $$.

Question

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주어진 변환 $$ \tau_{\mathbf{a}} $$는 다음과 같이 정의됩니다:

$$
\tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{x}) = -\mathbf{x} + 2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a}
$$

여기서 $$ \mathbf{a} $$는 $$ \mathbb{R}^2 $$의 비영벡터입니다. 이 변환은 벡터 $$ \mathbf{a} $$에 대한 반사(reflection) 변환입니다.

변환의 행렬을 구하기 위해, 먼저 $$ \mathcal{B} $$를 기저로 설정해야 합니다. 일반적으로 $$ \mathcal{B} = \{\mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}\} $$와 같은 표준 기저를 사용할 수 있습니다. 여기서 $$ \mathbf{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} $$와 $$ \mathbf{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} $$입니다.

1. **기저 벡터에 대한 변환 계산**:
   - $$ \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{e_1}) $$와 $$ \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{e_2}) $$를 계산합니다.

$$
   \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{e_1}) = -\mathbf{e_1} + 2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{e_1}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a}
   $$

$$
   \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{e_2}) = -\mathbf{e_2} + 2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{e_2}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a}
   $$

2. **행렬 표현**:
   - $$ \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{e_1}) $$와 $$ \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{e_2}) $$를 각각 $$ \mathcal{B} $$의 기저 벡터로 표현합니다.
   - 이 두 벡터를 열벡터로 하여 행렬을 구성합니다.

3. **결과**:
   - 최종적으로, 변환 $$ \tau_{\mathbf{a}} $$의 행렬 $$ \left[\tau_{\mathbf{a}}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} $$는 다음과 같은 형태가 됩니다:

$$
\left[\tau_{\mathbf{a}}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}
1 - 2\frac{a_1^2}{a_1^2 + a_2^2} & -2\frac{a_1 a_2}{a_1^2 + a_2^2} \
-2\frac{a_1 a_2}{a_1^2 + a_2^2} & 1 - 2\frac{a_2^2}{a_1^2 + a_2^2}
\end{pmatrix}
$$

여기서 $$ a_1 $$과 $$ a_2 $$는 벡터 $$ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \end{pmatrix} $$의 성분입니다.
변환 $$ \tau_{\mathbf{a}} $$의 행렬 $$ \left[\tau_{\mathbf{a}}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} $$는 다음과 같습니다: $$ \left[\tau_{\mathbf{a}}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 - 2\frac{a_1^2}{a_1^2 + a_2^2} & -2\frac{a_1 a_2}{a_1^2 + a_2^2} \ -2\frac{a_1 a_2}{a_1^2 + a_2^2} & 1 - 2\frac{a_2^2}{a_1^2 + a_2^2} \end{pmatrix} $$ 여기서 $$ a_1 $$과 $$ a_2 $$는 벡터 $$ \mathbf{a} $$의 성분입니다.

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