3. En un acuario se tienen solo 2 especies de peces. El $$ 40 \% $$ de los peces del acuario son de la especie azul y el $$ 60 \% $$ son de la especie roja. De a especie azul, el $$ 30 \% $$ son machos; mientras que, de la especie roja, el $$ 40 \% $$ son hembras. Si se selecciona un pez al azar, a) y resulta que es hembra, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la especie azul? b) y resulta que es macho, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la especie azul?

Question

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Para resolver este problema, utilizaremos el teorema de Bayes y la regla de la probabilidad total.

Primero, definamos los eventos:

- $$ A $$: el pez es de la especie azul.
- $$ R $$: el pez es de la especie roja.
- $$ H $$: el pez es hembra.
- $$ M $$: el pez es macho.

De acuerdo con la información proporcionada:

- $$ P(A) = 0.40 $$ (probabilidad de que un pez sea de la especie azul)
- $$ P(R) = 0.60 $$ (probabilidad de que un pez sea de la especie roja)
- $$ P(M|A) = 0.30 $$ (probabilidad de que un pez sea macho dado que es de la especie azul)
- $$ P(H|A) = 1 - P(M|A) = 0.70 $$ (probabilidad de que un pez sea hembra dado que es de la especie azul)
- $$ P(M|R) = 1 - P(H|R) = 0.60 $$ (probabilidad de que un pez sea macho dado que es de la especie roja)
- $$ P(H|R) = 0.40 $$ (probabilidad de que un pez sea hembra dado que es de la especie roja)

### a) Probabilidad de que sea de la especie azul dado que es hembra $$ P(A|H) $$

Usamos el teorema de Bayes:

$$
P(A|H) = \frac{P(H|A) \cdot P(A)}{P(H)}
$$

Primero, necesitamos calcular $$ P(H) $$ usando la regla de la probabilidad total:

$$
P(H) = P(H|A) \cdot P(A) + P(H|R) \cdot P(R)
$$

Sustituyendo los valores:

$$
P(H) = (0.70 \cdot 0.40) + (0.40 \cdot 0.60)
$$
$$
P(H) = 0.28 + 0.24 = 0.52
$$

Ahora podemos calcular $$ P(A|H) $$:

$$
P(A|H) = \frac{P(H|A) \cdot P(A)}{P(H)} = \frac{0.70 \cdot 0.40}{0.52}
$$
$$
P(A|H) = \frac{0.28}{0.52} \approx 0.5385
$$

Por lo tanto, la probabilidad de que el pez sea de la especie azul dado que es hembra es aproximadamente $$ 0.5385 $$ o $$ 53.85\% $$.

### b) Probabilidad de que sea de la especie azul dado que es macho $$ P(A|M) $$

Usamos nuevamente el teorema de Bayes:

$$
P(A|M) = \frac{P(M|A) \cdot P(A)}{P(M)}
$$

Primero, necesitamos calcular $$ P(M) $$:

$$
P(M) = P(M|A) \cdot P(A) + P(M|R) \cdot P(R)
$$

Sustituyendo los valores:

$$
P(M) = (0.30 \cdot 0.40) + (0.60 \cdot 0.60)
$$
$$
P(M) = 0.12 + 0.36 = 0.48
$$

Ahora podemos calcular $$ P(A|M) $$:

$$
P(A|M) = \frac{P(M|A) \cdot P(A)}{P(M)} = \frac{0.30 \cdot 0.40}{0.48}
$$
$$
P(A|M) = \frac{0.12}{0.48} = 0.25
$$

Por lo tanto, la probabilidad de que el pez sea de la especie azul dado que es macho es $$ 0.25 $$ o $$ 25\% $$.
a) La probabilidad de que el pez sea de la especie azul dado que es hembra es aproximadamente $$ 0.5385 $$ o $$ 53.85\% $$. b) La probabilidad de que el pez sea de la especie azul dado que es macho es $$ 0.25 $$ o $$ 25\% $$.

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