4. Considere la transformación lineal definida como: \[ T\binom{x}{y}=\binom{4 x-5 y}{2 x-3 y} \] a) Determinar la matriz que representa a la transformación en la base canónica. b) Hallar el polinomio característico. c) Hallar los valores y vectores propios.

Para determinar la matriz que representa la transformación lineal \( T \), primero observamos cómo actúa \( T \) en un vector genérico \( \binom{x}{y} \). Identificamos las imágenes de los vectores \( \binom{1}{0} \) y \( \binom{0}{1} \): - \( T \binom{1}{0} = \binom{4(1)-5(0)}{2(1)-3(0)} = \binom{4}{2} \) - \( T \binom{0}{1} = \binom{4(0)-5(1)}{2(0)-3(1)} = \binom{-5}{-3} \) Por lo tanto, la matriz que representa a la transformación en la base canónica es: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}. \] Para hallar el polinomio característico, calculamos \( \det(A - \lambda I) \): \[ \det\left(\begin{pmatrix} 4 - \lambda & -5 \\ 2 & -3 - \lambda \end{pmatrix}\right) = (4 - \lambda)(-3 - \lambda) - (-5)(2) = \lambda^2 - \lambda - 2. \] El polinomio característico es: \[ p(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 2. \] Ahora buscamos los valores propios resolviendo \( p(\lambda) = 0 \): \[ \lambda^2 - \lambda - 2 = 0 \implies (\lambda - 2)(\lambda + 1) = 0. \] Así, los valores propios son \( \lambda_1 = 2 \) y \( \lambda_2 = -1 \). Para los vectores propios: 1. Para \( \lambda_1 = 2 \): \[ (A - 2I) \binom{x}{y} = 0 \implies \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} \binom{x}{y} = 0 \implies -5y + 2x = 0 \implies y = \frac{2}{5}x. \] Un vector propio es \( \binom{5}{2} \). 2. Para \( \lambda_2 = -1 \): \[ (A + I) \binom{x}{y} = 0 \implies \begin{pmatrix} 5 & -5 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \binom{x}{y} = 0 \implies -5y + 5x = 0 \implies x = y. \] Un vector propio es \( \binom{1}{1} \). Por lo tanto, los valores propios son \( 2 \) y \( -1 \) con vectores propios \( \binom{5}{2} \) y \( \binom{1}{1} \) respectivamente.