3- Encontre a derivada das funções: a) $$ f(x)=\frac{3}{10} x^{5}-x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}(0,5 $$ ponto $$ ) $$ b) $$ f(x)=\frac{x^{3}}{6}+\sin x(0,5 $$ ponto $$ ) $$ c) $$ f(x)=\frac{3-x^{2}}{x^{2}}(0,5 $$ ponto $$ ) $$ d) $$ f(x)=(-\sin x)(\cos x)(0,5 $$ ponto $$ ) $$ e) $$ f(x)=\sec x(0,5 $$ ponto $$ ) $$

Question

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Vamos calcular as derivadas das funções fornecidas e avaliar cada uma no ponto $$ x = 0,5 $$.

### a) $$ f(x) = \frac{3}{10} x^{5} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} $$

**Derivada:**
$$
f'(x) = \frac{3}{10} \cdot 5x^{4} - 3x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 2x = \frac{15}{10}x^{4} - 3x^{2} + x = \frac{3}{2}x^{4} - 3x^{2} + x
$$

**Avaliação em $$ x = 0,5 $$:**
$$
f'(0,5) = \frac{3}{2}(0,5)^4 - 3(0,5)^2 + 0,5 = \frac{3}{2} \cdot 0,0625 - 3 \cdot 0,25 + 0,5 = 0,09375 - 0,75 + 0,5 = -0,15625
$$

### b) $$ f(x) = \frac{x^{3}}{6} + \sin x $$

**Derivada:**
$$
f'(x) = \frac{3x^{2}}{6} + \cos x = \frac{x^{2}}{2} + \cos x
$$

**Avaliação em $$ x = 0,5 $$:**
$$
f'(0,5) = \frac{(0,5)^2}{2} + \cos(0,5) = \frac{0,25}{2} + \cos(0,5) = 0,125 + \cos(0,5) \approx 0,125 + 0,877582 = 1,002582
$$

### c) $$ f(x) = \frac{3 - x^{2}}{x^{2}} $$

**Simplificando a função antes de derivar:**
$$
f(x) = 3x^{-2} - 1
$$

**Derivada:**
$$
f'(x) = -2 \cdot 3x^{-3} = -6x^{-3} = -\frac{6}{x^{3}}
$$

**Avaliação em $$ x = 0,5 $$:**
$$
f'(0,5) = -\frac{6}{(0,5)^{3}} = -\frac{6}{0,125} = -48
$$

### d) $$ f(x) = -\sin x \cdot \cos x $$

**Derivada usando a regra do produto:**
$$
f'(x) = -\cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot \sin x = -\cos^{2}x + \sin^{2}x = \sin^{2}x - \cos^{2}x
$$
$$
f'(x) = -\cos(2x) \quad \text{(usando identidade trigonométrica)}
$$

**Avaliação em $$ x = 0,5 $$:**
$$
f'(0,5) = -\cos(2 \cdot 0,5) = -\cos(1) \approx -0,540302
$$

### e) $$ f(x) = \sec x $$

**Derivada:**
$$
f'(x) = \sec x \tan x
$$

**Avaliação em $$ x = 0,5 $$:**
$$
f'(0,5) = \sec(0,5) \tan(0,5) \approx 1,139494 \cdot 0,546303 = 0,621535
$$

---

**Resumo das Derivadas Avaliadas em $$ x = 0,5 $$:**

a) $$ f'(0,5) = -0,15625 $$

b) $$ f'(0,5) \approx 1,002582 $$

c) $$ f'(0,5) = -48 $$

d) $$ f'(0,5) \approx -0,540302 $$

e) $$ f'(0,5) \approx 0,621535 $$
As derivadas das funções avaliadas em $$ x = 0,5 $$ são: a) $$ f'(0,5) = -0,15625 $$ b) $$ f'(0,5) \approx 1,002582 $$ c) $$ f'(0,5) = -48 $$ d) $$ f'(0,5) \approx -0,540302 $$ e) $$ f'(0,5) \approx 0,621535 $$

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