\( f ( x ) = 4 x ^ { 2 } + 6 x + 5 \quad x \in [ 0 : 5 ] \)

Давайте проанализируем функцию \( f(x) = 4x^2 + 6x + 5 \) на интервале \( x \in [0, 5] \). 1. **Определение функции**: Это квадратичная функция, которая имеет форму \( ax^2 + bx + c \), где \( a = 4 \), \( b = 6 \), и \( c = 5 \). 2. **Нахождение критических точек**: Для этого найдем производную функции и приравняем её к нулю. \[ f'(x) = 8x + 6 \] Приравняем производную к нулю: \[ 8x + 6 = 0 \] Решим это уравнение: \[ 8x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{4} \] Поскольку \( x = -\frac{3}{4} \) не входит в интервал \( [0, 5] \), мы не имеем критических точек на данном интервале. 3. **Нахождение значений функции на границах интервала**: - Для \( x = 0 \): \[ f(0) = 4(0)^2 + 6(0) + 5 = 5 \] - Для \( x = 5 \): \[ f(5) = 4(5)^2 + 6(5) + 5 = 4(25) + 30 + 5 = 100 + 30 + 5 = 135 \] 4. **Анализ значений**: Значения функции на границах интервала: - \( f(0) = 5 \) - \( f(5) = 135 \) 5. **Вывод**: Поскольку функция является параболой, открытой вверх (так как \( a > 0 \)), и у нас нет критических точек в интервале, то минимальное значение функции на интервале \( [0, 5] \) равно \( 5 \) (при \( x = 0 \)), а максимальное значение равно \( 135 \) (при \( x = 5 \)). Таким образом, минимальное значение функции на интервале \( [0, 5] \) равно \( 5 \), а максимальное значение равно \( 135 \).