4. 46 . funksjonen $$ f $$ er gitt: ved $$ f(x)=\ln (2 x+1)-x^{2} $$. a Bestem definisjonsmengden til $$ f $$. b Finn $$ f^{\prime}(x) $$. c Finn likningen til tangenten til grafen til fi punktet $$ (0, f(0) $$ ).

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

### a) Bestem definisjonsmengden til $$ f $$

Funksjonen $$ f(x) = \ln(2x + 1) - x^{2} $$ inneholder den naturlige logaritmen $$ \ln(2x + 1) $$. Logaritmefunksjonen er definert når argumentet er positivt, altså:

$$
2x + 1 > 0
$$

Løsningen på ulikheten er:

$$
2x + 1 > 0 \
2x > -1 \
x > -\frac{1}{2}
$$

Definisjonsmengden $$ D_f $$ til funksjonen $$ f $$ er derfor alle reelle tall større enn $$-\frac{1}{2}$$:

$$
D_f = \left( -\frac{1}{2}, \infty \right)
$$

### b) Finn $$ f^{\prime}(x) $$

For å finne den deriverte $$ f^{\prime}(x) $$ bruker vi derivasjonsreglene for logaritmefunksjoner og polynomer.

$$
f(x) = \ln(2x + 1) - x^{2}
$$

Deriverer vi term for term:

1. Derivert av $$ \ln(2x + 1) $$:

$$
\frac{d}{dx} \ln(2x + 1) = \frac{2}{2x + 1}
$$

2. Derivert av $$ -x^{2} $$:

$$
\frac{d}{dx} (-x^{2}) = -2x
$$

Så, den deriverte $$ f^{\prime}(x) $$ er:

$$
f^{\prime}(x) = \frac{2}{2x + 1} - 2x
$$

### c) Finn likningen til tangenten til grafen til $$ f $$ i punktet $$ (0, f(0)) $$

Først beregner vi $$ f(0) $$:

$$
f(0) = \ln(2 \cdot 0 + 1) - 0^{2} = \ln(1) - 0 = 0
$$

Så punktet er $$ (0, 0) $$.

Deretter finner vi den deriverte i $$ x = 0 $$:

$$
f^{\prime}(0) = \frac{2}{2 \cdot 0 + 1} - 2 \cdot 0 = 2 - 0 = 2
$$

Tangenten har altså stigningstall $$ m = 2 $$ og går gjennom punktet $$ (0, 0) $$. Likningen til tangenten er da:

$$
y = m x + b
$$

Siden $$ b = 0 $$:

$$
y = 2x
$$

**Svar:** Likningen til tangenten er $$ y = 2x $$.
a) Definisjonsmengden til $$ f $$ er alle reelle tall større enn $$-\frac{1}{2}$$. b) Den deriverte $$ f^{\prime}(x) $$ er $$ \frac{2}{2x + 1} - 2x $$. c) Likningen til tangenten til grafen til $$ f $$ i punktet $$ (0, 0) $$ er $$ y = 2x $$.

4. 46 . funksjonen \( f \) er gitt: ved \( f(x)=\ln (2 x+1)-x^{2} \). a Bestem definisjonsmengden til \( f \). b Finn \( f^{\prime}(x) \). c Finn likningen til tangenten til grafen til fi punktet \( (0, f(0) \) ).

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions