Suites arithmétiques Les questions sont indépendantes. 1. On définit pour tout \( n \) la suite \( \left(U_{n}\right) \) par : \[ U_{n}=3 n-2 \] Montrer que \( \left(U_{n}\right) \) est une suite arithmétique. 2. Soit \( \left(U_{n}\right) \) une suite arithmétique de premier terme \( U_{0}=5 \) et de raison \( \frac{1}{3} \). Calculer le \( 9^{\text {ieme terme, puis calculer la }} \) somme : \( S=U_{0}+U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{8} \)

Pour montrer que \( \left(U_{n}\right) \) est une suite arithmétique, il suffit de vérifier que la différence entre deux termes successifs est constante. Calculons les deux premiers termes : \( U_{0} = 3 \times 0 - 2 = -2 \) et \( U_{1} = 3 \times 1 - 2 = 1 \). La différence est \( U_{1} - U_{0} = 1 - (-2) = 3 \). Pour les termes généraux, on a \( U_{n+1} = 3(n+1) - 2 = 3n + 3 - 2 = U_{n} + 3 \). Ainsi, la raison est \( r = 3 \), confirmant que \( \left(U_{n}\right) \) est bien une suite arithmétique. Pour la suite arithmétique avec \( U_{0}=5 \) et une raison de \( \frac{1}{3} \), le terme \( U_{n} \) s'exprime comme \( U_{n} = U_{0} + n \cdot r = 5 + n \cdot \frac{1}{3} \). Donc, le \( 9^{\text{ième}} \) terme est \( U_{9} = 5 + 9 \cdot \frac{1}{3} = 5 + 3 = 8 \). La somme \( S = U_{0} + U_{1} + U_{2} + \ldots + U_{8} \) se calcule grâce à la formule \( S_n = \frac{n+1}{2} \cdot (U_{0} + U_{n}) \). Ici, \( U_{8} = 5 + 8 \cdot \frac{1}{3} = 5 + \frac{8}{3} = \frac{15}{3} + \frac{8}{3} = \frac{23}{3} \). Ainsi : \( S = \frac{9}{2} \cdot (5 + \frac{23}{3}) = \frac{9}{2} \cdot \frac{15 + 23}{3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{38}{3} = \frac{171}{6} = 28.5 \).