2. Fie forma pătratică \( \varphi: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}, \varphi(x)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} \) pentru orice \( x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbf{R}^{3} \). 2.1. Să se scrie forma biliniară simetrică asociată şi matricea asociată (în raport cu baza canonică). 2.2. Să se aducă forma pătratică la o formă canonică, precizând baza formei canonice şi rangul formei. 2.3. Să se indice, dacă există, trei vectori \( u, v, w \operatorname{din} \mathbf{R}^{3} \) pentru care \( \varphi(u)=0 \) şi \( u \neq 0 \), \( \varphi(v)>0, \varphi(w)<0 \). Este \( \varphi \) pozitiv definită?

Pentru a obține forma biliniară simetrică asociată, putem scrie forma pătratică în termenii variabilelor sale. Aceasta se poate exprima ca: \[ \varphi(x) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \] Astfel, matricea asociată formei pătratice în raport cu baza canonică este: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \] Pentru a aduce forma pătratică la o formă canonică, trebuie să efectuăm o diagonalizare a matricei \( A \). Calculând valorile proprii, se poate stabili că rangul formei este 3. Forma canonică va fi obținută în urma transformării printr-o bază corespunzătoare vectorilor proprii, iar coeficientul asociat pentru fiecare direcție va defini semnul formei. Exemplificarea vectorilor pentru a satisface cerințele: putem verifica vectorul \( u = (1, 1, 0) \) care satisface \( \varphi(u) = 0 \). Un vector precum \( v = (1, 0, 1) \) ar putea da o valoare pozitivă, iar \( w = (0, 1, 1) \) poate conduce la o valoare negativă. Din aceste observații, putem concluziona că forma \( \varphi \) nu este pozitiv definită, deoarece există vectori pentru care \( \varphi < 0 \).