c. Montrer par récurrence que, pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$, $$ \sqrt{2} \leqslant x_{n+1} \leqslant x_{n} $$. d. En déduire que la suite $$ \left(x_{n}\right) $$ converge vers un réel $$ \ell $$. e. On admet que $$ \ell $$ vérifie $$ \ell=\frac{\ell^{2}+2}{2 \ell} $$. Déterminer $$ \ell $$.

Question

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Pour répondre à ces questions, nous allons procéder étape par étape.

### c. Montrer par récurrence que, pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$, $$ \sqrt{2} \leqslant x_{n+1} \leqslant x_{n} $$.

**Initialisation :** Pour $$ n = 0 $$, supposons que $$ x_0 \geq \sqrt{2} $$. Nous devons montrer que $$ x_1 \geq \sqrt{2} $$ et $$ x_1 \leq x_0 $$.

Calculons $$ x_1 $$ :
$$
x_1 = \frac{x_0 + \frac{2}{x_0}}{2}.
$$
Puisque $$ x_0 \geq \sqrt{2} $$, nous avons :
$$
\frac{2}{x_0} \leq \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.
$$
Donc,
$$
x_1 = \frac{x_0 + \frac{2}{x_0}}{2} \geq \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.
$$

Ensuite, montrons que $$ x_1 \leq x_0 $$ :
$$
x_1 \leq x_0 \iff \frac{x_0 + \frac{2}{x_0}}{2} \leq x_0 \iff x_0 + \frac{2}{x_0} \leq 2x_0 \iff \frac{2}{x_0} \leq x_0.
$$
Cela est vrai si $$ x_0^2 \geq 2 $$, ce qui est vrai puisque $$ x_0 \geq \sqrt{2} $$.

**Hérédité :** Supposons que $$ \sqrt{2} \leq x_n \leq x_{n-1} $$. Nous devons montrer que $$ \sqrt{2} \leq x_{n+1} \leq x_n $$.

Nous avons déjà montré que $$ x_{n+1} \geq \sqrt{2} $$ dans l'étape d'initialisation. Maintenant, montrons que $$ x_{n+1} \leq x_n $$ :
$$
x_{n+1} \leq x_n \iff \frac{x_n + \frac{2}{x_n}}{2} \leq x_n \iff x_n + \frac{2}{x_n} \leq 2x_n \iff \frac{2}{x_n} \leq x_n.
$$
Cela est vrai si $$ x_n^2 \geq 2 $$, ce qui est vrai puisque $$ x_n \geq \sqrt{2} $$.

Ainsi, par récurrence, nous avons montré que $$ \sqrt{2} \leq x_n \leq x_{n-1} $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$.

### d. En déduire que la suite $$ \left(x_{n}\right) $$ converge vers un réel $$ \ell $$.

La suite $$ (x_n) $$ est décroissante (car $$ x_n \geq x_{n+1} $$) et est bornée inférieurement par $$ \sqrt{2} $$. Par le théorème de la convergence des suites monotones, la suite $$ (x_n) $$ converge vers un réel $$ \ell $$.

### e. On admet que $$ \ell $$ vérifie $$ \ell=\frac{\ell^{2}+2}{2 \ell} $$. Déterminer $$ \ell $$.

Nous avons l'équation :
$$
\ell = \frac{\ell^2 + 2}{2\ell}.
$$
En multipliant les deux côtés par $$ 2\ell $$ (en supposant $$ \ell \neq 0 $$), nous obtenons :
$$
2\ell^2 = \ell^2 + 2 \implies \ell^2 = 2.
$$
Ainsi, nous avons :
$$
\ell = \sqrt{2} \quad \text{ou} \quad \ell = -\sqrt{2}.
$$
Cependant, comme $$ x_n \geq \sqrt{2} $$ pour tout $$ n $$, nous concluons que :
$$
\ell = \sqrt{2}.
$$

En résumé, la suite $$ (x_n) $$ converge vers $$ \ell = \sqrt{2} $$.
c. Par récurrence, on montre que $$ \sqrt{2} \leq x_{n+1} \leq x_n $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$. d. La suite $$ (x_n) $$ converge vers un réel $$ \ell $$. e. On trouve que $$ \ell = \sqrt{2} $$.

c. Montrer par récurrence que, pour tout ,
.
d. En déduire que la suite converge vers un réel .
e. On admet que vérifie . Déterminer .

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c. Montrer par récurrence que, pour tout , . d. En déduire que la suite converge vers un réel . e. On admet que vérifie . Déterminer .