Să se arate că aplicaţia \( g: \mathbf{R}^{4} \rightarrow \mathbf{R} \) definită prin \( g(x)=x^{1}-3 x^{2}-x^{4} \) pentru orice \( x=\left(x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}\right) \in \mathbf{R}^{4} \) este liniară şi să se determine coordonatele lui \( g \) în raport cu baza \( F \).

Pentru a demonstra că aplicația \( g: \mathbf{R}^{4} \rightarrow \mathbf{R} \) definită prin \[ g(x) = x^{1} - 3x^{2} - x^{4} \] este lineară și pentru a determina coordonatele sale în raport cu baza \( F \), procedăm în felul următor: ### 1. Demonstrarea liniarității O aplicație \( g \) este liniară dacă îndeplinește două proprietăți: 1. **Adunarea vectorială:** \( g(x + y) = g(x) + g(y) \) pentru orice \( x, y \in \mathbf{R}^{4} \). 2. **Multiplicarea scalară:** \( g(\alpha x) = \alpha g(x) \) pentru orice scalar \( \alpha \) și orice \( x \in \mathbf{R}^{4} \). Verificăm aceste proprietăți pentru \( g \): - **Adunarea vectorială:** \[ g(x + y) = (x^{1} + y^{1}) - 3(x^{2} + y^{2}) - (x^{4} + y^{4}) = (x^{1} - 3x^{2} - x^{4}) + (y^{1} - 3y^{2} - y^{4}) = g(x) + g(y) \] - **Multiplicarea scalară:** \[ g(\alpha x) = \alpha x^{1} - 3(\alpha x^{2}) - \alpha x^{4} = \alpha (x^{1} - 3x^{2} - x^{4}) = \alpha g(x) \] Ambele proprietăți fiind îndeplinite, concluzionăm că \( g \) este o aplicație liniară. ### 2. Determinarea coordonatelor lui \( g \) în raport cu baza \( F \) Presupunând că \( F \) este baza standard a spațiului \( \mathbf{R}^{4} \), coordonatele aplicației liniare \( g \) sunt date de coeficienții combinației liniare care exprimă \( g \). Aplicația \( g \) poate fi scrisă ca: \[ g(x) = 1 \cdot x^{1} + (-3) \cdot x^{2} + 0 \cdot x^{3} + (-1) \cdot x^{4} \] Astfel, coordonatele lui \( g \) în raport cu baza \( F \) sunt: \[ (1, -3, 0, -1) \] ### Concluzie Aplicația \( g \) este liniară, iar coordonatele sale în raport cu baza standard \( F \) sunt \( (1, -3, 0, -1) \).