Esercizio 2. Siano dati i punti del piano euclideo $$ A(-2,1) $$ e $$ B(2,2) $$. Si consideri l'insieme $$ \mathcal{C} $$ dei punti $$ P $$ del piano per cui i vettori $$ \overrightarrow{A P} $$ e $$ \overrightarrow{B P} $$ sono ortogonali. (a) Provare che $$ \mathcal{C} $$ è una circonferenza e trovare la sua equazione cartesiana. () Trovare centro e raggio di $$ \mathcal{C} $$. (c) Costruire le rette passanti per l'origine che sono tangenti a $$ \mathcal{C} $$. (d) Si chiami $$ A^{\prime} B^{\prime} $$ il diametro di $$ \mathcal{C} $$ che è parallelo all'asse $$ x $$. Calcolare l'area del triangolo $$ A^{\prime} O B^{\prime} $$.

Question

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Iniziamo a risolvere il problema passo dopo passo.

### (a) Prova che $$ \mathcal{C} $$ è una circonferenza e trova la sua equazione cartesiana.

I punti $$ A(-2, 1) $$ e $$ B(2, 2) $$ sono dati. Vogliamo trovare l'insieme dei punti $$ P(x, y) $$ tali che i vettori $$ \overrightarrow{AP} $$ e $$ \overrightarrow{BP} $$ siano ortogonali.

I vettori sono definiti come:
$$
\overrightarrow{AP} = (x + 2, y - 1)
$$
$$
\overrightarrow{BP} = (x - 2, y - 2)
$$

Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è zero:
$$
\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0
$$

Calcoliamo il prodotto scalare:
$$
(x + 2)(x - 2) + (y - 1)(y - 2) = 0
$$

Semplificando:
$$
x^2 - 4 + y^2 - 3y + 2 = 0
$$
$$
x^2 + y^2 - 3y - 2 = 0
$$

Per ottenere l'equazione della circonferenza, dobbiamo completare il quadrato per il termine in $$ y $$:
$$
x^2 + (y^2 - 3y) = 2
$$
$$
x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} = 2
$$
$$
x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = 2 + \frac{9}{4} = \frac{8}{4} + \frac{9}{4} = \frac{17}{4}
$$

Quindi, l'equazione della circonferenza è:
$$
x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{17}{4}
$$

### (b) Trova centro e raggio di $$ \mathcal{C} $$.

Dall'equazione della circonferenza, possiamo identificare il centro $$ C $$ e il raggio $$ r $$:
- Centro $$ C\left(0, \frac{3}{2}\right) $$
- Raggio $$ r = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} $$

### (c) Costruire le rette passanti per l'origine che sono tangenti a $$ \mathcal{C} $$.

Le rette passanti per l'origine hanno equazione $$ y = mx $$. Per trovare le tangenti, dobbiamo sostituire $$ y = mx $$ nell'equazione della circonferenza:
$$
x^2 + \left(mx - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{17}{4}
$$

Sviluppiamo l'equazione:
$$
x^2 + (m^2x^2 - 3mx + \frac{9}{4}) = \frac{17}{4}
$$
$$
(1 + m^2)x^2 - 3mx + \left(\frac{9}{4} - \frac{17}{4}\right) = 0
$$
$$
(1 + m^2)x^2 - 3mx - 2 = 0
$$

Perché la retta sia tangente alla circonferenza, il discriminante deve essere zero:
$$
(-3m)^2 - 4(1 + m^2)(-2) = 0
$$
$$
9m^2 + 8 + 8m^2 = 0
$$
$$
17m^2 + 8 = 0
$$

Da qui, otteniamo:
$$
m^2 = -\frac{8}{17}
$$

Poiché $$ m^2 $$ non può essere negativo, non ci sono rette tangenti all'origine che siano tangenti alla circonferenza.

### (d) Calcolare l'area del triangolo $$ A^{\prime} O B^{\prime} $$.

Il diametro $$ A'B' $$ è parallelo all'asse $$ x $$ e il centro $$ C $$ è il punto medio di $$ A'B' $$. Le coordinate di $$ A' $$ e $$ B' $$ sono:
- $$ A' = \left(-\sqrt{\frac{17}{4}}, \frac{3}{2}\right) $$
- $$ B' = \left(\sqrt{\frac{17}{4}}, \frac{3}{2}\right) $$

L'area del triangolo $$ A'OB' $$ è data dalla formula:
$$
\text{Area} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altezza}
$$

La base è la distanza tra $$ A' $$ e $$ B' $$:
$$
\text{base} = 2\sqrt{\frac{17}{4}} = \sqrt{17}
$$

L'altezza è la distanza dell'origine $$ O(0, 0) $$ dalla retta $$ y = \frac{3}{2} $$, che è $$ \frac{3}{2} $$.

Quindi, l'area è:
$$
\text{Area} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{17} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{17}}{4}
$$

### Risultati finali:
- (a) Equazione della circonferenza: $$ x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{17}{4} $$
- (b) Centro: $$ C(0, \frac{3}{2}) $$, Raggio: $$ r = \frac{\sqrt{17}}{2} $$
- (c) Non ci sono rette tangenti passanti per l'origine.
- (d) Area del triangolo $$ A'OB' = \frac{3\sqrt{17}}{4} $$
(a) $$ \mathcal{C} $$ è una circonferenza con equazione $$ x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{17}{4} $$. (b) Centro: $$ C(0, \frac{3}{2}) $$, Raggio: $$ \frac{\sqrt{17}}{2} $$. (c) Non esistono rette tangenti passanti per l'origine. (d) Area del triangolo $$ A'OB' = \frac{3\sqrt{17}}{4} $$.

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