Derivar la siguiente expresión: 1) \( y=\sqrt[3]{3 x^{2}}-\frac{1}{\sqrt{5 x}} \)

Para derivar la función dada: \[ y = \sqrt[3]{3x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{5x}} \] seguiremos los siguientes pasos: ### Paso 1: Reescribir la función utilizando exponentes fraccionarios \[ y = (3x^{2})^{\frac{1}{3}} - (5x)^{-\frac{1}{2}} \] ### Paso 2: Aplicar las reglas de derivación Recordemos que la derivada de \( u^n \) respecto a \( x \) es \( n \cdot u^{n-1} \cdot u' \). 1. **Para el primer término** \((3x^{2})^{\frac{1}{3}}\): - Exponente: \( \frac{1}{3} \) - Derivada del interior \( u = 3x^2 \) es \( u' = 6x \) Aplicando la regla: \[ \frac{d}{dx} \left( (3x^{2})^{\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot (3x^{2})^{\frac{1}{3} - 1} \cdot 6x = \frac{6x}{3} \cdot (3x^{2})^{-\frac{2}{3}} = 2x \cdot (3x^{2})^{-\frac{2}{3}} \] 2. **Para el segundo término** \( - (5x)^{-\frac{1}{2}} \): - Exponente: \( -\frac{1}{2} \) - Derivada del interior \( u = 5x \) es \( u' = 5 \) Aplicando la regla: \[ \frac{d}{dx} \left( - (5x)^{-\frac{1}{2}} \right) = - \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot (5x)^{-\frac{1}{2} - 1} \cdot 5 = \frac{5}{2} \cdot (5x)^{-\frac{3}{2}} \] ### Paso 3: Simplificar la expresión derivada \[ y' = 2x \cdot (3x^{2})^{-\frac{2}{3}} + \frac{5}{2} \cdot (5x)^{-\frac{3}{2}} \] Podemos reescribir las potencias negativas como raíces: \[ y' = \frac{2x}{\sqrt[3]{(3x^{2})^2}} + \frac{5}{2 \cdot \sqrt{(5x)^3}} \] Simplificando aún más: \[ y' = \frac{2x}{\sqrt[3]{9x^{4}}} + \frac{5}{2 \cdot \sqrt{125x^{3}}} \] Finalmente, expresando las raíces de manera más clara: \[ y' = \frac{2x}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}} \] ### Respuesta Final La derivada de la función es: \[ y' = \frac{2x}{\sqrt[3]{9x^{4}}} + \frac{5}{2 \sqrt{125x^{3}}} \] O, simplificada: \[ y' = \frac{2}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}} \]