3.(4 boda) Prelaskom na polarne koordinate izračunajte po lijevoj
polovini krugax .

Ask by Mejia Boyd. in Croatia

Jan 21,2025

Question

3.(4 boda) Prelaskom na polarne koordinate izračunajte $$ \int_{S}(x y-2 x) d S $$ po lijevoj polovini krugax $$ x^{2}+y^{2} \leq 4 $$.

UpStudy AI · Accepted Answer

Da bismo izračunali integral

$$
\int_{S}(x y - 2 x) \, dS
$$

prelaskom na polarne koordinate, pratimo sljedeće korake:

1. **Definicija područja $$ S $$**: Lijeva polovica kruga $$ x^2 + y^2 \leq 4 $$ odgovara uvjetu $$ x \leq 0 $$. U polarnim koordinatama, to se prevodi na $$\theta \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$$ i $$ r \in [0, 2] $$.

2. **Izraz u polarnim koordinatama**:
   $$
   x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta
   $$
   Izraz za integral postaje:
   $$
   (x y - 2 x) = r^2 \cos\theta \sin\theta - 2 r \cos\theta
   $$
   Element površine u polarnim koordinatama je $$ dS = r \, dr \, d\theta $$.

3. **Integral u polarnim koordinatama**:
   $$
   \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{2} \left( r^3 \cos\theta \sin\theta - 2 r^2 \cos\theta \right) dr \, d\theta
   $$

4. **Izračun integrala po $$ r $$**:
   $$
   \int_{0}^{2} r^3 \, dr = 4, \quad \int_{0}^{2} 2 r^2 \, dr = \frac{16}{3}
   $$
   Stoga, integral postaje:
   $$
   \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \left( 4 \cos\theta \sin\theta - \frac{16}{3} \cos\theta \right) d\theta
   $$

5. **Izračun integrala po $$ \theta $$**:
   - Prvi integral $$ \int \cos\theta \sin\theta \, d\theta $$ tijekom granica od $$ \frac{\pi}{2} $$ do $$ \frac{3\pi}{2} $$ daje 0.
   - Drugi integral $$ \int \cos\theta \, d\theta $$ daje $$-2$$.

6. **Konačni rezultat**:
   $$
   -\frac{16}{3} \times (-2) = \frac{32}{3}
   $$

**Odgovor**: Integral je jednak $$\frac{32}{3}$$.
Integral je jednak $$\frac{32}{3}$$.

3.(4 boda) Prelaskom na polarne koordinate izračunajte po lijevoj
polovini krugax .

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Calculus Questions

3.(4 boda) Prelaskom na polarne koordinate izračunajte po lijevoj polovini krugax .