I) Hallar una función $$ f $$ un numero $$ a $$ tal que b) $$ \int_{a}^{2 x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} d t=x^{2}-81 $$

Question

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Para resolver el problema, vamos a seguir los siguientes pasos:

1. **Identificar las condiciones conocidas**: 
   - Se nos da la integral definida $$ \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} dt = x^{2} - 81 $$.

2. **Diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto a $$ x $$**: 
   Utilizaremos el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena para diferenciar la integral.

La derivada de la izquierda es:
   $$
   \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{2x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} dt \right) = \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{u} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} dt \right) \bigg|_{u=2x} \cdot \frac{du}{dx}
   $$
   donde $$ u = 2x $$. Por el teorema fundamental del cálculo, esto se convierte en:
   $$
   \frac{(2x)^{2}}{(f(2x))^{3}} \cdot 2 = \frac{4x^{2}}{(f(2x))^{3}} \cdot 2 = \frac{8x^{2}}{(f(2x))^{3}}.
   $$

La derivada de la derecha es:
   $$
   \frac{d}{dx}(x^{2} - 81) = 2x.
   $$

3. **Igualar las derivadas**:
   Ahora igualamos las derivadas obtenidas:
   $$
   \frac{8x^{2}}{(f(2x))^{3}} = 2x.
   $$

4. **Despejar $$ f(2x) $$**:
   Multiplicamos ambos lados por $$ (f(2x))^{3} $$ y dividimos por $$ 2x $$ (asumiendo $$ x \neq 0 $$):
   $$
   8x^{2} = 2x (f(2x))^{3} \implies 4x = (f(2x))^{3} \implies f(2x) = (4x)^{1/3}.
   $$

5. **Encontrar $$ f(t) $$**:
   Para encontrar $$ f(t) $$, sustituimos $$ t = 2x $$ para obtener $$ x = \frac{t}{2} $$:
   $$
   f(t) = (4 \cdot \frac{t}{2})^{1/3} = (2t)^{1/3}.
   $$

Por lo tanto, la función $$ f(t) $$ que satisface la condición dada es:
$$
f(t) = (2t)^{1/3}.
$$
La función $$ f(t) $$ que satisface la condición es $$ f(t) = (2t)^{1/3} $$.

I) Hallar una función \( f \) un numero \( a \) tal que b) \( \int_{a}^{2 x} \frac{t^{2}}{(f(t))^{3}} d t=x^{2}-81 \)

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