In tire successivement 4 boules avec remise d'un sac contenant 10 boules: 3 vertes et 7 aunes. Détermine le nombre de tirages permettant d'obtenir: a) 4 boules jaunes; b) 4 boules vertes; c) 3 jaunes et 1 verte dans cet ordre ; d) 3 jaunes et une verte ; e) 2 jaunes et deux vertes dans cet ordre ; f) deux jaunes et deux vertes ; g) au moins 3 vertes ; h) au Dlus 3 iaunes.

Soit un sac contenant 10 boules, dont 3 vertes et 7 jaunes. On effectue 4 tirages successifs avec remise. Cela signifie que lors de chaque tirage le contenu du sac reste identique et que l’ordre des tirages compte. Pour chacune des questions, nous allons déterminer le nombre de tirages (c’est-à-dire le nombre de suites de 4 boules) qui satisfont la condition demandée. Notons que lorsque nous devons tirer une boule jaune, il y a \(7\) possibilités et pour une boule verte, il y a \(3\) possibilités. --- **a) 4 boules jaunes** Chaque tirage doit donner une boule jaune. Le nombre de possibilités à chaque tirage est \(7\). Le nombre total de tirages est donc : \[ 7^4 = 2401. \] --- **b) 4 boules vertes** Chaque tirage doit donner une boule verte. Le nombre de possibilités à chaque tirage est \(3\). Le nombre total de tirages est : \[ 3^4 = 81. \] --- **c) 3 jaunes et 1 verte dans cet ordre** Ici, l’ordre est imposé : les trois premiers tirages donnent une boule jaune, et le quatrième donne une boule verte. - Pour chacun des trois premiers tirages, \(7\) possibilités (jaune) : \(7^3\). - Pour le quatrième tirage, \(3\) possibilités (verte). Donc, le nombre de tirages est : \[ 7^3 \cdot 3 = 343 \cdot 3 = 1029. \] --- **d) 3 jaunes et 1 verte (dans n’importe quel ordre)** Il y a exactement 1 tirage vert et 3 tirages jaunes, mais l’ordre n’est pas fixé. - Le nombre de façons de choisir la position de la boule verte parmi 4 tirages est \(\binom{4}{1}=4\). - Pour chacune des positions jaunes, il y a \(7\) possibilités, donc \(7^3\). - Pour la position verte, il y a \(3\) possibilités. Le nombre total de tirages est donc : \[ \binom{4}{1}\cdot 7^3\cdot 3 = 4 \cdot 343 \cdot 3 = 4116. \] --- **e) 2 jaunes et 2 vertes dans cet ordre** « Dans cet ordre » signifie ici que l’ordre est imposé : par exemple, les deux premiers tirages donnent une boule jaune et les deux suivants une boule verte. - Pour chaque boule jaune (premiers tirages) : \(7\) possibilités, donc \(7^2\). - Pour chaque boule verte (troisième et quatrième tirages) : \(3\) possibilités, donc \(3^2\). Le nombre total de tirages est : \[ 7^2 \cdot 3^2 = 49\cdot 9 = 441. \] --- **f) Deux jaunes et deux vertes (quel que soit l’ordre)** Ici, on veut exactement 2 tirages jaunes et 2 tirages vertes, sans contrainte d’ordre. - Le nombre de façons de choisir les positions des 2 jaunes parmi 4 tirages est \(\binom{4}{2}=6\). - Pour chacune des positions jaunes, il y a \(7\) possibilités (\(7^2\) au total). - Pour chacune des positions vertes, il y a \(3\) possibilités (\(3^2\) au total). Le nombre total de tirages est donc : \[ \binom{4}{2}\cdot 7^2\cdot 3^2 = 6\cdot 49\cdot 9 = 2646. \] --- **g) Au moins 3 vertes** Les cas possibles sont soit 3 boules vertes et 1 jaune, soit 4 boules vertes. 1. Pour exactement 3 vertes et 1 jaune : - Choisir les positions des 3 vertes parmi 4 tirages : \(\binom{4}{3}=4\). - Pour chaque vert : \(3\) possibilités, donc \(3^3\). - Pour la boule jaune : \(7\) possibilités. Nombre de tirages : \[ 4\cdot 3^3\cdot 7 = 4\cdot 27\cdot 7 = 756. \] 2. Pour 4 vertes : \[ 3^4 = 81. \] Le nombre total est la somme : \[ 756 + 81 = 837. \] --- **h) Au moins 3 jaunes** Ici, on a soit exactement 3 jaunes et 1 verte, soit 4 jaunes. 1. Pour exactement 3 jaunes et 1 verte : - Choisir la position de la boule verte : \(\binom{4}{1}=4\). - Pour chaque jaune : \(7\) possibilités (\(7^3\)) et pour la verte : \(3\) possibilités. Nombre de tirages : \[ 4\cdot 7^3\cdot 3 = 4\cdot 343\cdot 3 = 4116. \] 2. Pour 4 jaunes : \[ 7^4 = 2401. \] Le nombre total est donc : \[ 4116 + 2401 = 6517. \] --- Réponse finale sous forme de récapitulatif : - (a) \(7^4 = 2401\). - (b) \(3^4 = 81\). - (c) \(7^3\cdot 3 = 1029\). - (d) \(\dbinom{4}{1}\cdot 7^3\cdot 3 = 4116\). - (e) \(7^2\cdot 3^2 = 441\). - (f) \(\dbinom{4}{2}\cdot 7^2\cdot 3^2 = 2646\). - (g) \(4\cdot 3^3\cdot 7+3^4 = 837\). - (h) \(4\cdot 7^3\cdot 3+7^4 = 6517\).