Gegeven de lijn \( k:\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}4 \\ 5 \\ 6\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ -1\end{array}\right) \) a. Noem twee normaalvectoren van \( k \). b. Stel een vectoryoorstelling op van het loodvlak uit \( O \) op \( k \). c. Stel een vectorvoorstelling op van het loodvlak op \( k \) dat gaat door het punt \( P(2,-3,7) \)

Een lijn in de ruimte kan worden beschreven door een punt en een richtingsvector. Voor de lijn \( k \) zien we dat het punt \((4, 5, 6)\) op de lijn ligt en dat de richtingsvector is gegeven door \((3, 5, -1)\). Twee normaalvectoren van de lijn \( k \) zijn elke vector die orthogonaal is aan de richtingsvector. Een voorbeeld van normaalvectoren zou kunnen zijn \((5, -3, 0)\) en \((-1, 1, 0)\), omdat hun inproduct met de richtingsvector 0 is. Om een vectorvoorstelling op te stellen van het loodvlak uit \( O(0, 0, 0) \) op lijn \( k \), moeten we eerst de normaalvector gebruiken. Laten we de normaalvector \( n = (a,b,c) \) noemen. Dan is de vectorvoorstelling van het loodvlak gegeven door de vergelijking: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} \] waarbij \( s \) en \( t \) parameters zijn die de lijn en het loodvlak in de ruimte beschrijven. De vectorvoorstelling van het loodvlak op lijn \( k \) dat door het punt \( P(2, -3, 7) \) gaat, kan worden afgeleid door ook hier weer gebruik te maken van een normaalvector \( (a, b, c) \) die orthogonaal moet zijn aan de richtingsvector \((3, 5, -1)\). De vectorvoorstelling dan kan geschreven worden als: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} \] Hierbij zijn \( s \) en \( t \) opnieuw parameters die ons helpen om punten op het loodvlak te beschrijven.