\begin{tabular}{c|c|}\hline 것은? & 4 다음 두 이차식이 각각 완전제곱식이 될 때, \( A+B \) \\ 의 값을 구하시오. (단, \( A, B \) 는 양수) \\ \( x^{2}+14 x+A, 4 x^{2}+B x+25 \)\end{tabular}

먼저, 주어진 이차식이 완전제곱식이 되기 위한 조건을 살펴보겠습니다. 첫 번째 이차식 \( x^{2} + 14x + A \)가 완전제곱식이 되려면, \( A \)는 다음과 같이 정의됩니다: \[ x^{2} + 14x + A = (x + 7)^{2} \] 여기서 \( A = 7^2 = 49 \)입니다. 두 번째 이차식 \( 4x^{2} + Bx + 25 \)가 완전제곱식이 되려면 다음과 같은 형태여야 합니다: \[ 4x^{2} + Bx + 25 = (2x + m)^{2} \] 여기서 \( m \)은 어떤 양의 정수입니다. 따라서 전개하면: \[ 4x^{2} + 2mx + m^{2} = 4x^{2} + Bx + 25 \] 이므로, \( B = 2m \) 그리고 \( m^2 = 25 \)입니다. \( m = 5 \)가 적합하므로: \[ B = 2 \times 5 = 10 \] 이제 \( A \)와 \( B \)의 값을 더하면: \[ A + B = 49 + 10 = 59 \] 따라서, \( A+B \)의 값은 \( 59 \)입니다.