3 Resuelve el siguiente triangulo para $$ \gamma $$ si: $$ \begin{array}{l}a=15 \ b=15.8231 \ c=14.0126\end{array} $$

Question

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Para resolver el triángulo y encontrar el ángulo $$ \gamma $$, podemos utilizar la ley de los cosenos, que se expresa de la siguiente manera:

$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)
$$

Dado que tenemos los valores de $$ a $$, $$ b $$ y $$ c $$, podemos sustituirlos en la fórmula:

$$
(14.0126)^2 = (15)^2 + (15.8231)^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15.8231 \cdot \cos(\gamma)
$$

Calculamos los cuadrados:

$$
196.3524 = 225 + 250.0004 - 2 \cdot 15 \cdot 15.8231 \cdot \cos(\gamma)
$$

Sumamos los términos del lado derecho:

$$
196.3524 = 225 + 250.0004 = 475.0004 - 2 \cdot 15 \cdot 15.8231 \cdot \cos(\gamma)
$$

Ahora, despejamos $$ \cos(\gamma) $$:

$$
196.3524 = 475.0004 - 2 \cdot 15 \cdot 15.8231 \cdot \cos(\gamma)
$$

Restamos $$ 475.0004 $$ de ambos lados:

$$
196.3524 - 475.0004 = -2 \cdot 15 \cdot 15.8231 \cdot \cos(\gamma)
$$

$$
-278.648 = -2 \cdot 15 \cdot 15.8231 \cdot \cos(\gamma)
$$

Dividimos ambos lados por $$-1$$:

$$
278.648 = 2 \cdot 15 \cdot 15.8231 \cdot \cos(\gamma)
$$

Calculamos $$ 2 \cdot 15 \cdot 15.8231 $$:

$$
2 \cdot 15 \cdot 15.8231 = 474.693
$$

Sustituimos este valor en la ecuación:

$$
278.648 = 474.693 \cdot \cos(\gamma)
$$

Despejamos $$ \cos(\gamma) $$:

$$
\cos(\gamma) = \frac{278.648}{474.693}
$$

Calculamos el valor:

$$
\cos(\gamma) \approx 0.586
$$

Ahora, para encontrar $$ \gamma $$, tomamos el arco coseno:

$$
\gamma \approx \cos^{-1}(0.586)
$$

Calculamos el ángulo:

$$
\gamma \approx 54.44^\circ
$$

Por lo tanto, el valor del ángulo $$ \gamma $$ es aproximadamente $$ 54.44^\circ $$.
El ángulo $$ \gamma $$ es aproximadamente $$ 54.44^\circ $$.

3 Resuelve el siguiente triangulo para \( \gamma \) si: \( \begin{array}{l}a=15 \\ b=15.8231 \\ c=14.0126\end{array} \)