2. Quatre véhicules se présentent successivement à cette même borne. On note \( X \) la variable aléatoire associée au nombre de succès dans la répétition, de manière indépendantes, des quatre épreuves de Bernoulli. a) Exprimer à l'aide d'une phrase les évènements \( \{X=2\} \) et \( \{X \leq 3\} \). b) Calculer \( P(X=4) \) et \( P(X>0) \).

Pour répondre à cette question, imaginons que les "succès" se réfèrent à un véhicule qui passe à la borne avec une certaine caractéristique (comme payer le péage, par exemple). Voici les événements: - L'événement \( \{X=2\} \) signifie qu'exactement 2 des 4 véhicules ont réussi à passer avec succès. En d'autres termes, 2 véhicules ont obtenu un résultat que l'on considère comme positif. - L'événement \( \{X \leq 3\} \) indique que le nombre de véhicules ayant réussi à passer à la borne est inférieur ou égal à 3. Cela signifie qu'il peut y avoir soit 0, 1, 2 ou 3 véhicules qui ont eu du succès lors de cet essai. Pour calculer \( P(X=4) \), supposons que la probabilité d'un succès pour un véhicule est \( p \). Donc, nous avons: \[ P(X=4) = p^4 \] Ensuite, pour \( P(X>0) \), nous savons que cela équivaut à 1 moins la probabilité qu'aucun véhicule ne réussisse: \[ P(X>0) = 1 - P(X=0) = 1 - (1-p)^4 \] Assurez-vous d'insérer la bonne valeur de \( p \) pour effectuer les calculs!