Esercizio 3. Sono dati il piano e la retta seguenti: \[ \pi: x+2 y-z=0 \quad \text { e } \quad r:\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z=1 \\ x-2 z-3=0\end{array}\right. \] (a) \( (4 \mathrm{pt}) \) Trovare, se esiste, un piano parallelo ad \( r \) e ortogonale a \( \pi \). (b) \( (4 \mathrm{pt}) \) Trovare, se esiste, una retta ortogonale a \( \pi \) e sghemba con \( r \) (c) \( (4 \mathrm{pt}) \) Trovare, se esiste, una sfera tangente \( \pi \) e che non interseca \( r \).

Per il problema proposto, possiamo approfondire un paio di aspetti che potrebbero essere interessanti! Il piano fornito è definito dall'equazione \( \pi: x + 2y - z = 0 \), il che implica che il suo normale è il vettore \( (1, 2, -1) \). Per un piano parallelo a \( r \) e ortogonale a \( \pi \), dovresti mantenere lo stesso normale e solo spostare il piano con un termine costante diverso, ad esempio \( d = k \) per un certo valore \( k \), ottenendo quindi \( x + 2y - z = k \). Per quanto riguarda la retta \( r \), essa è rappresentata da un sistema di equazioni. Risolvendo questo sistema, puoi trovare le coordinate di un punto sulla retta e, da lì, calcolare la direzione della retta stessa per cercare una retta ortogonale a \( \pi \) che non sia parallela a \( r \). Un buon inizio è ottenere i punti di intersezione tra la retta e il piano e poi analizzare i loro vettori direzionali. Ricorda che per trovare una sfera tangente al piano e che non interseca la retta, devi assicurarti che la distanza dal centro della sfera al piano sia maggiore del raggio della sfera. Se desideri approfondire ulteriormente questi argomenti, sarei felice di aiutarti!