1. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 91 больше их произведения. Найдите эти числа. 2. Одно число меньше другого на в. Найдите эти числа, если их произведение равно -16. 3. Площадь прямоугольника, одна из сторон которого на 3 см больше другой, равна 54 см $$ ^{2} $$. Найти стороны и периметр прямоугольника. 4. В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нем имеется 884 места? 5. Найдите катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 м $$ ^{2} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x+8=y\8x+y=884\end{array}\right.$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$\left\{ \begin{array}{l}y=x+8\8x+y=884\end{array}\right.$$
- step2: Substitute the value of $$y:$$
  $$8x+x+8=884$$
- step3: Add the terms:
  $$9x+8=884$$
- step4: Move the constant to the right side:
  $$9x=884-8$$
- step5: Subtract the numbers:
  $$9x=876$$
- step6: Divide both sides:
  $$\frac{9x}{9}=\frac{876}{9}$$
- step7: Divide the numbers:
  $$x=\frac{292}{3}$$
- step8: Substitute the value of $$x:$$
  $$y=\frac{292}{3}+8$$
- step9: Simplify:
  $$y=\frac{316}{3}$$
- step10: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{292}{3}\y=\frac{316}{3}\end{array}\right.$$
- step11: Check the solution:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{292}{3}\y=\frac{316}{3}\end{array}\right.$$
- step12: Rewrite:
  $$\left(x,y\right) = \left(\frac{292}{3},\frac{316}{3}\right)$$
Solve the system of equations $$ x - y = b; xy = -16 $$.
Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x-y=b\xy=-16\end{array}\right.$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$\left\{ \begin{array}{l}b=x-y\xy=-16\end{array}\right.$$
- step2: Substitute the value of $$b:$$
  $$xy=-16$$
- step3: Evaluate:
  $$yx=-16$$
- step4: Divide both sides:
  $$\frac{yx}{y}=\frac{-16}{y}$$
- step5: Divide the numbers:
  $$x=-\frac{16}{y}$$
- step6: Substitute the value of $$x:$$
  $$b=-\frac{16}{y}-y$$
- step7: Simplify:
  $$b=-\frac{16+y^{2}}{y}$$
- step8: Calculate:
  $$\left(b,x,y\right) = \left(-\frac{16+y^{2}}{y},-\frac{16}{y},y\right),y \in \mathbb{R}$$
- step9: Alternative Form:
  $$\textrm{Infinitely many solutions}$$
Solve the system of equations $$ x^2 + (x+1)^2 = xy + 91; y = x(x+1) $$.
Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x^{2}+\left(x+1\right)^{2}=xy+91\y=x\left(x+1\right)\end{array}\right.$$
- step1: Substitute the value of $$y:$$
  $$x^{2}+\left(x+1\right)^{2}=x\times x\left(x+1\right)+91$$
- step2: Simplify:
  $$2x^{2}+2x+1=x^{3}+x^{2}+91$$
- step3: Move the expression to the left side:
  $$2x^{2}+2x+1-\left(x^{3}+x^{2}+91\right)=0$$
- step4: Calculate:
  $$x^{2}+2x-90-x^{3}=0$$
- step5: Calculate:
  $$x\approx -4.309694$$
- step6: Substitute the value of $$x:$$
  $$y=-4.309694\left(-4.309694+1\right)$$
- step7: Simplify:
  $$y\approx 14.263767$$
- step8: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x\approx -4.309694\y\approx 14.263767\end{array}\right.$$
- step9: Check the solution:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x\approx -4.309694\y\approx 14.263767\end{array}\right.$$
- step10: Rewrite:
  $$\left(x,y\right)\approx \left(-4.309694,14.263767\right)$$
Solve the system of equations $$ a + b = 23; 0.5 * a * b = 60 $$.
Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
  $$\left\{ \begin{array}{l}a+b=23\0.5ab=60\end{array}\right.$$
- step1: Solve the equation:
  $$\left\{ \begin{array}{l}a=23-b\0.5ab=60\end{array}\right.$$
- step2: Substitute the value of $$a:$$
  $$0.5\left(23-b\right)b=60$$
- step3: Expand the expression:
  $$11.5b-0.5b^{2}=60$$
- step4: Move the expression to the left side:
  $$11.5b-0.5b^{2}-60=0$$
- step5: Calculate:
  $$\frac{23}{2}b-\frac{1}{2}b^{2}-60=0$$
- step6: Factor the expression:
  $$\frac{1}{2}\left(-b+15\right)\left(b-8\right)=0$$
- step7: Divide the terms:
  $$\left(-b+15\right)\left(b-8\right)=0$$
- step8: Separate into possible cases:
  $$\begin{align}&-b+15=0\&b-8=0\end{align}$$
- step9: Solve the equation:
  $$\begin{align}&b=15\&b=8\end{align}$$
- step10: Calculate:
  $$b=15\cup b=8$$
- step11: Rearrange the terms:
  $$\left\{ \begin{array}{l}a=23-b\b=15\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}a=23-b\b=8\end{array}\right.$$
- step12: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}a=8\b=15\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}a=15\b=8\end{array}\right.$$
- step13: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}a=15\b=8\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}a=8\b=15\end{array}\right.$$
- step14: Check the solution:
  $$\left\{ \begin{array}{l}a=15\b=8\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}a=8\b=15\end{array}\right.$$
- step15: Rewrite:
  $$\left(a,b\right) = \left(15,8\right)\cup \left(a,b\right) = \left(8,15\right)$$
Solve the system of equations $$ x(x+3) = 54; P = 2(x + (x+3)) $$.
Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x\left(x+3\right)=54\P=2\left(x+\left(x+3\right)\right)\end{array}\right.$$
- step1: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x\left(x+3\right)=54\P=2\left(2x+3\right)\end{array}\right.$$
- step2: Solve the equation:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x=6\cup x=-9\P=2\left(2x+3\right)\end{array}\right.$$
- step3: Evaluate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x=6\P=2\left(2x+3\right)\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}x=-9\P=2\left(2x+3\right)\end{array}\right.$$
- step4: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}P=30\x=6\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}P=-30\x=-9\end{array}\right.$$
- step5: Rearrange the terms:
  $$\left\{ \begin{array}{l}P=-30\x=-9\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}P=30\x=6\end{array}\right.$$
- step6: Check the solution:
  $$\left\{ \begin{array}{l}P=-30\x=-9\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}P=30\x=6\end{array}\right.$$
- step7: Rewrite:
  $$\left(P,x\right) = \left(-30,-9\right)\cup \left(P,x\right) = \left(30,6\right)$$
Давайте решим каждую из задач по порядку.

### Задача 1
**Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 91 больше их произведения. Найдите эти числа.**

Обозначим два последовательных числа как $$ x $$ и $$ x+1 $$. У нас есть уравнение:
$$
x^2 + (x+1)^2 = x(x+1) + 91
$$
Решение этого уравнения дало нам:
$$
(x,y) \approx (-4.309694, 14.263767)
$$
Однако, так как мы ищем натуральные числа, это решение не подходит.

### Задача 2
**Одно число меньше другого на $$ b $$. Найдите эти числа, если их произведение равно -16.**

Обозначим числа как $$ x $$ и $$ y $$, где $$ x - y = b $$ и $$ xy = -16 $$. Решение показало:
$$
\text{Бесконечно много решений}
$$
Это означает, что для любого значения $$ b $$ можно найти соответствующие $$ x $$ и $$ y $$.

### Задача 3
**Площадь прямоугольника, одна из сторон которого на 3 см больше другой, равна 54 см². Найти стороны и периметр прямоугольника.**

Обозначим стороны как $$ x $$ и $$ x+3 $$. У нас есть уравнение:
$$
x(x+3) = 54
$$
Решение дало:
$$
(P,x) = (-30,-9) \cup (P,x) = (30,6)
$$
Это означает, что одна из сторон равна 6 см, а другая 9 см. Периметр будет равен:
$$
P = 2(x + (x+3)) = 2(6 + 9) = 30 \text{ см}
$$

### Задача 4
**В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нем имеется 884 места?**

Обозначим количество рядов как $$ x $$ и количество мест в ряду как $$ y $$. У нас есть уравнения:
$$
y = x + 8; \quad xy = 884
$$
Решение показало:
$$
(x,y) = \left(\frac{292}{3}, \frac{316}{3}\right) \approx (97.3, 105.3)
$$
Это означает, что в кинотеатре примерно 97 рядов и 105 мест в каждом ряду.

### Задача 5
**Найдите катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 м².**

Обозначим катеты как $$ a $$ и $$ b $$. У нас есть уравнения:
$$
a + b = 23; \quad 0.5 \cdot a \cdot b = 60
$$
Решение дало:
$$
(a,b) = (15,8) \cup (a,b) = (8,15)
$$
Это означает, что катеты равны 15 см и 8 см.

Таким образом, мы нашли решения для всех задач. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!
### Решения задач: 1. **Задача 1** - **Решение:** Нет решений среди натуральных чисел. 2. **Задача 2** - **Решение:** Бесконечно много решений для любых значений $$ b $$. 3. **Задача 3** - **Стороны:** 6 см и 9 см. - **Периметр:** 30 см. 4. **Задача 4** - **Рядов:** Приблизительно 97. 5. **Задача 5** - **Катеты:** 15 см и 8 см. - **Гипотенуза:** 17 см (поскольку $$ 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 = 17^2 $$). **Итог:** 1. Нет натуральных чисел, удовлетворяющих условию. 2. Бесконечно много решений для любых значений $$ b $$. 3. Стороны прямоугольника: 6 см и 9 см; периметр: 30 см. 4. В кинотеатре примерно 97 рядов. 5. Катеты: 15 см и 8 см; гипотенуза: 17 см.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Algebra Questions