2. Tentukan turunan invers dari fungsi dibawah ini: a. $$ \quad f(x)=x^{2}+2 x^{5}-0.5 x^{1} $$ b. $$ y=\frac{2 x^{8}+x^{2}-2 x^{3}}{4 x^{1}-x^{3}} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

2. **Tentukan turunan invers dari fungsi di bawah ini:**

a. $$ f(x) = x^{2} + 2x^{5} - 0.5x $$

Untuk mencari turunan dari invers fungsi $$ f^{-1}(y) $$, kita gunakan rumus:

$$
\left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}
$$

**Langkah-langkah:**

1. **Hitung Turunan $$ f(x) $$:**
   
   $$
   f'(x) = \frac{d}{dx}\left(x^{2} + 2x^{5} - 0.5x\right) = 2x + 10x^{4} - 0.5
   $$

2. **Masukkan ke Dalam Rumus Turunan Invers:**
   
   $$
   \left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{2f^{-1}(y) + 10\left(f^{-1}(y)\right)^{4} - 0.5}
   $$

**Catatan:** Karena fungsi $$ f(x) $$ adalah polinomial pangkat 5, inversnya $$ f^{-1}(y) $$ tidak dapat diekspresikan secara eksplisit menggunakan fungsi aljabar dasar. Oleh karena itu, bentuk di atas adalah representasi umum dari turunan inversnya.

---

b. $$ y = \frac{2x^{8} + x^{2} - 2x^{3}}{4x - x^{3}} $$

Untuk mencari turunan dari invers fungsi $$ f^{-1}(y) $$, kita tetap menggunakan rumus yang sama:

$$
\left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}
$$

**Langkah-langkah:**

1. **Hitung Turunan $$ f(x) $$:** Gunakan aturan turunan untuk fungsi pecahan (aturan quotient).

$$
   f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x^{8} + x^{2} - 2x^{3}}{4x - x^{3}}\right) = \frac{(16x^{7} + 2x - 6x^{2})(4x - x^{3}) - (2x^{8} + x^{2} - 2x^{3})(4 - 3x^{2})}{(4x - x^{3})^{2}}
   $$

2. **Masukkan ke Dalam Rumus Turunan Invers:**
   
   $$
   \left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{(4f^{-1}(y) - (f^{-1}(y))^{3})^{2}}{(16(f^{-1}(y))^{7} + 2f^{-1}(y) - 6(f^{-1}(y))^{2})(4f^{-1}(y) - (f^{-1}(y))^{3}) - (2(f^{-1}(y))^{8} + (f^{-1}(y))^{2} - 2(f^{-1}(y))^{3})(4 - 3(f^{-1}(y))^{2})}
   $$

**Catatan:** Sama seperti pada bagian a, invers dari fungsi ini tidak dapat diekspresikan secara eksplisit menggunakan fungsi aljabar dasar karena kompleksitasnya. Oleh karena itu, bentuk di atas merupakan representasi umum dari turunan inversnya.

---

**Kesimpulan:**

Turunan invers dari suatu fungsi $$ f(x) $$ diberikan oleh:

$$
\left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}
$$

Namun, untuk fungsi-fungsi polinomial dengan derajat tinggi seperti yang diberikan pada soal, inversnya biasanya tidak dapat ditemukan secara eksplisit. Oleh karena itu, bentuk turunan inversnya juga dinyatakan dalam bentuk yang melibatkan $$ f^{-1}(y) $$.
2. **Turunan Invers Fungsi:** a. $$ f(x) = x^{2} + 2x^{5} - 0.5x $$ Turunan inversnya adalah: $$ \left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{2f^{-1}(y) + 10\left(f^{-1}(y)\right)^{4} - 0.5} $$ b. $$ y = \frac{2x^{8} + x^{2} - 2x^{3}}{4x - x^{3}} $$ Turunan inversnya adalah: $$ \left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{(4f^{-1}(y) - (f^{-1}(y))^{3})^{2}}{(16(f^{-1}(y))^{7} + 2f^{-1}(y) - 6(f^{-1}(y))^{2})(4f^{-1}(y) - (f^{-1}(y))^{3}) - (2(f^{-1}(y))^{8} + (f^{-1}(y))^{2} - 2(f^{-1}(y))^{3})(4 - 3(f^{-1}(y))^{2})} $$ **Catatan:** Invers fungsi-fungsi ini tidak dapat diekspresikan secara eksplisit, jadi bentuk turunan inversnya dinyatakan dalam bentuk yang melibatkan $$ f^{-1}(y) $$.

Tentukan turunan invers dari fungsi dibawah ini:
a.
b.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Calculus Questions

Tentukan turunan invers dari fungsi dibawah ini: a. b.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Calculus Questions

Tentukan turunan invers dari fungsi dibawah ini:
a.
b.