EXERCICE 3 Le plan est muni d'un repère orthonormé ( \( \mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J} \) ). L'unité graphique est : 2 cm . On donne la fonction \( f \) définie sur \( ] 0 ;+\infty[ \) par: \( f(x)=-x+3+\ln (x) \). On désigne par : - (C), la courbe représentative de \( f \) dans le plan muni du repère orthonormé ( \( \mathrm{O}, \mathrm{L}, \mathrm{J} \) ). - (T), la tangente à (C) au point d'abscisse 2. Partic A 1. a) Calcule f(1) b) Calcule \( (4,50) \) et \( f(4,51) \) et donne les resultats arrondis a l'ordre 3 . 2. a) Justifie que : \( \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=-\infty \). \( >0 \) b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu. 3. On admettra que pour tout nombre réel strictement positif, \( f(x)=x\left(-1+\frac{3}{x}+\frac{\ln (x)}{x}\right) \). Calcule : \( x \rightarrow+\infty \) Partie B 1. On admet que \( f \) est dérivable sur \( ] 0 ;+\infty \) [. Vérifie que, pour tout nombre réel \( x \) strictement positif, \( f^{\prime \prime}(x)=\frac{-x+1}{x} \). 2. a) Étudie les variations de \( f \). b) Dresse le tableau de variations de \( f \). 3. Détermine une kquation de ( T ). 4. Justifie que l'tquation \( J(x)=0 \), admet une solution unique dans l'intervalle ] 4,50;4,51 [. On admet que l'equation \( f(x)=0 \), admet une autre solution dans I'intervalle ] 0,\( 05 ; 0,06 \% \). 5. Construis la droite ( \( T \) et la conrhe ( \( C \) dans le ravira

Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder étape par étape en suivant les instructions données. ### Partie A #### 1. a) Calcule \( f(1) \) La fonction est définie par \( f(x) = -x + 3 + \ln(x) \). Calculons \( f(1) \): \[ f(1) = -1 + 3 + \ln(1) \] Sachant que \( \ln(1) = 0 \), nous avons : \[ f(1) = -1 + 3 + 0 = 2 \] #### 1. b) Calcule \( f(4,50) \) et \( f(4,51) \) Calculons \( f(4,50) \) : \[ f(4,50) = -4,50 + 3 + \ln(4,50) \] Calculons \( \ln(4,50) \) : \[ \ln(4,50) \approx 1,5041 \quad (\text{arrondi à l'ordre 4}) \] Donc : \[ f(4,50) = -4,50 + 3 + 1,5041 = -0,9959 \approx -0,996 \quad (\text{arrondi à l'ordre 3}) \] Maintenant, calculons \( f(4,51) \) : \[ f(4,51) = -4,51 + 3 + \ln(4,51) \] Calculons \( \ln(4,51) \) : \[ \ln(4,51) \approx 1,5042 \quad (\text{arrondi à l'ordre 4}) \] Donc : \[ f(4,51) = -4,51 + 3 + 1,5042 = -0,9958 \approx -0,996 \quad (\text{arrondi à l'ordre 3}) \] #### 2. a) Justifie que \( \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = -\infty \) Pour justifier cela, examinons le comportement de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers 0 : \[ f(x) = -x + 3 + \ln(x) \] Lorsque \( x \) tend vers 0, \( \ln(x) \) tend vers \( -\infty \). Ainsi : \[ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} (-x + 3 + \ln(x)) = 3 - 0 - \infty = -\infty \] #### 2. b) Interprétation graphique Graphiquement, cela signifie que la courbe \( (C) \) descend vers \( -\infty \) lorsque \( x \) approche 0, indiquant que la fonction n'a pas de limite inférieure à ce point. #### 3. Calcul de \( \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \) Examinons \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \): \[ f(x) = -x + 3 + \ln(x) \] Ici, \( -x \) domine \( \ln(x) \) car \( \ln(x) \) croît beaucoup plus lentement que \( -x \) décroît. Donc : \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty \] ### Partie B #### 1. Vérification de \( f^{\prime \prime}(x) = \frac{-x + 1}{x} \) Calculons la dérivée première \( f'(x) \): \[ f'(x) = -1 + \frac{1}{x} \] Calculons maintenant la dérivée seconde \( f''(x) \): \[ f''(x) = -\frac{1}{x^2} \] Pour vérifier que \( f^{\prime \prime}(x) = \frac{-x + 1}{x} \), nous devons simplifier : \[ \frac{-x + 1}{x} = -1 + \frac{1}{x} \] Cela montre que \( f^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2} \) est correct. #### 2. a) Étude des variations de \( f \) Pour étudier les variations, nous devons examiner le signe de \( f'(x) \): \[ f'(x) = -1 + \frac{1}{x} \] - \( f'(x) > 0 \) si \( \frac{1}{x} > 1 \) donc \( x < 1 \) - \( f'(x) = 0 \) si \( x = 1 \) - \( f'(x) < 0 \) si \( x > 1 \) Cela signifie que \( f \) est croissante sur \( ]0, 1[ \) et décroissante sur \( ]1, +\infty[ \). #### 2. b) Tableau de variations de \( f \) \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & +\infty \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & -\infty & 2 & -\infty \\ \hline \end{array} \] #### 3. Détermination d'une équation de (T) La tangente (T) au point d'abscisse 2 est donnée par : \[ y - f(2) = f'(2)(x - 2) \] Calculons \( f(2) \) et \( f'(2) \): \[ f(2) = -2 + 3 + \ln(2) \approx 1 + 0,6931 \approx 1,6931 \] \[ f'(2) = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \] L'équation de (T) devient : \[ y - 1,6931 = -\frac{1}{2}(x - 2) \] Ce qui donne : \[ y = -\frac{1}{2}x + 2,1931 \] #### 4. Justification de l'unicité de la solution de \( J(x) = 0 \) dans \( ]4,50; 4,51[ \) Nous savons que \( J(x) = f(x) \) est continue et que \( f(4,50) \approx -0,996 \) et \( f(4,51) \approx -0,996 \). Comme \( f(x) \) est décro