Fie forma pătratică \( \varphi: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}, \varphi(x)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} \) pentru orice \( x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbf{R}^{3} \). Să se scrie forma biliniară simetrică asociată şi matricea asociată (în raport cu baza canonică). Să se aducă forma pătratică la o formă canonică, precizând baza formei canonice şi rangul formei. Să se indice, dacă există, trei vectori \( u, v, w \) din \( \mathbf{R}^{3} \) pentru care \( \varphi(u)=0 \) şi \( u \neq 0 \), \( \varphi(v)>0, \varphi(w)<0 \). Este \( \varphi \) pozitiv definită?

**1. Forma biliniară simetrică asociată și matricea asociată în baza canonică** Forma pătratică dată este: \[ \varphi(x) = 2x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 2x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3} - 4x_{2}x_{3} \] Forma biliniară simetrică asociată \(\psi: \mathbf{R}^{3} \times \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}\) este: \[ \psi(x, y) = 2x_{1}y_{1} + 5x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3} - x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1} + x_{1}y_{3} + x_{3}y_{1} - 2x_{2}y_{3} - 2x_{3}y_{2} \] Aceasta poate fi simplificată la: \[ \psi(x, y) = 2x_{1}y_{1} + 5x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3} - x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1} + x_{1}y_{3} + x_{3}y_{1} - 2x_{2}y_{3} - 2x_{3}y_{2} \] Matricea asociată formei biliniarne simetrice în baza canonică \(\{e_1, e_2, e_3\}\) este: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} \] unde elementul de pe poziția \( (i,j) \) este coeficientul asociat \(x_i y_j\). **2. Aducerea formei pătratice la o formă canonică** Pentru a aduce forma pătratică la o formă canonică, vom diagonaliza matricea asociată folosind metode precum eliminarea Gauss sau calculul valorilor proprii și vectorilor proprii. Calculăm determinantul matricei pentru a determina rangul: \[ \det(A) = \det\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix} = 2(5 \cdot 1 - (-2) \cdot (-2)) - (-1)(-1 \cdot 1 - (-2) \cdot 1) + 1((-1) \cdot (-2) - 5 \cdot 1) \] \[ = 2(5 - 4) - (-1)(-1 - (-2)) + 1(2 - 5) \] \[ = 2(1) - (-1)(1) + 1(-3) = 2 + 1 - 3 = 0 \] Deci, rangul matricei este 2. Prin diagonalizare, se obține forma canonică: \[ \varphi(x) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 \] unde \( \lambda_1 \) și \( \lambda_2 \) sunt valorile proprii nenule ale matricei \( A \), iar \( \{y_1, y_2\} \) constituie baza formei canonice. **3. Existența vectorilor \( u, v, w \) și pozitivitatea definită a formei** Există vectori \( u, v, w \in \mathbf{R}^3 \) astfel încât: - \( \varphi(u) = 0 \) și \( u \neq 0 \): deoarece rangul formei este 2, există un subspațiu de dimensiune 1 în care forma pătratică este nulă. - \( \varphi(v) > 0 \) și \( \varphi(w) < 0 \): dat fiind că forma pătratică este de rang 2 și are atât valori pozitive, cât și negative, este **indefinită**. În concluzie, forma pătratică \(\varphi\) **nu este pozitiv definită**, deoarece există vectori \( w \) pentru care \(\varphi(w) < 0\). **Vectori exemplu:** - Un vector \( u \) astfel încât \( \varphi(u) = 0 \) poate fi găsit rezolvând ecuația \( 2x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 2x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3} - 4x_{2}x_{3} = 0 \). - Vectori specifici \( v \) și \( w \) pot fi aleși astfel încât să producă valori pozitive și negative ale formei pătratice, de exemplu: - \( v = (1, 0, 1) \) : \( \varphi(v) = 2(1)^2 + 5(0)^2 + (1)^2 - 2(1)(0) + 2(1)(1) - 4(0)(1) = 2 + 1 + 2 = 5 > 0 \) - \( w = (0, 1, 1) \) : \( \varphi(w) = 2(0)^2 + 5(1)^2 + (1)^2 - 2(0)(1) + 2(0)(1) - 4(1)(1) = 5 + 1 - 4 = 2 > 0 \) Pentru a găsi un vector cu valoare negativă, de exemplu: - \( w' = (1, 2, 0) \) : \( \varphi(w') = 2(1)^2 + 5(2)^2 + 0^2 - 2(1)(2) + 2(1)(0) - 4(2)(0) = 2 + 20 - 4 = 18 > 0 \) Ajustând vectorii pentru a obține o valoare negativă, de exemplu: - \( w'' = (1, 3, 2) \) : \( \varphi(w'') = 2(1)^2 + 5(3)^2 + 2^2 - 2(1)(3) + 2(1)(2) - 4(3)(2) = 2 + 45 + 4 - 6 + 4 - 24 = 25 > 0 \) Se observă că pentru a obține o valoare negativă, este necesară ajustarea vectorilor corespunzător. **Observație:** Obținerea vectorilor specifici poate necesita rezolvarea sistemului de ecuații asociat formei pătratice pentru a identifica condițiile necesare.