3. \( |\sin x|=\sin x \cos x \)

Решим уравнение: \[ |\sin x| = \sin x \cos x \] **Шаг 1: Рассмотрим два случая в зависимости от знака \(\sin x\).** --- **Случай 1: \(\sin x \geq 0\)** Тогда модуль можно убрать без изменения знака: \[ \sin x = \sin x \cos x \] Переносим все слагаемые в одну сторону: \[ \sin x - \sin x \cos x = 0 \\ \sin x (1 - \cos x) = 0 \] Получаем два уравнения: 1. \(\sin x = 0\) Решения: \[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] 2. \(\cos x = 1\) Решения: \[ x = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] Однако, поскольку мы рассматриваем случай \(\sin x \geq 0\), решения \(\cos x = 1\) уже включены в \(\sin x = 0\) при \(x = 2n\pi\). --- **Случай 2: \(\sin x < 0\)** Тогда модуль принимает противоположный знак: \[ -\sin x = \sin x \cos x \] Переносим все слагаемые в одну сторону: \[ -\sin x - \sin x \cos x = 0 \\ -\sin x (1 + \cos x) = 0 \] Получаем два уравнения: 1. \(\sin x = 0\) Решения: \[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{З} \] Но поскольку \(\sin x < 0\), допустимы только \(x = (2n+1)\pi\). 2. \(\cos x = -1\) Решения: \[ x = (2n+1)\pi, \quad n \in \mathbb{З} \] --- **Объединяя оба случая, получаем общее решение:** \[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{З} \] **Проверка:** Подставим \(x = n\pi\): \[ |\sin(n\pi)| = 0 \\ \sin(n\pi) \cos(n\pi) = 0 \cdot (\pm1) = 0 \] Уравнение выполняется для всех целых \(n\). **Ответ:** Все решения уравнения имеют вид \(x = n\pi\), где \(n\) — целое число.