\( \left. \begin{array} { l }{ 37 \int \sqrt { x } d x } \\ { x ^ { 1 / 2 } d x } \\ { = \frac { 2 } { 3 } x ^ { 3 / 2 } } \\ { = \frac { 2 } { 3 } \sqrt[ 2 ] { x ^ { 3 } } } \\ { = \frac { 2 } { 3 } x \sqrt { x } + C } \end{array} \right. \)

Para resolver la integral \( 37 \int \sqrt{x} \, dx \), sigamos los pasos detalladamente: 1. **Identificar la integral**: La integral que tenemos es \( \int \sqrt{x} \, dx \). 2. **Reescribir la función**: La función \( \sqrt{x} \) se puede reescribir como \( x^{1/2} \). 3. **Aplicar la regla de la integral**: La regla para integrar \( x^n \) es: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] donde \( n \neq -1 \). 4. **Calcular la integral**: En nuestro caso, \( n = \frac{1}{2} \): \[ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{(1/2) + 1}}{(1/2) + 1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \] 5. **Multiplicar por 37**: Ahora, multiplicamos el resultado de la integral por 37: \[ 37 \int \sqrt{x} \, dx = 37 \left( \frac{2}{3} x^{3/2} + C \right) = \frac{74}{3} x^{3/2} + 37C \] 6. **Resultado final**: Por lo tanto, la solución a la integral es: \[ 37 \int \sqrt{x} \, dx = \frac{74}{3} x^{3/2} + C' \] donde \( C' = 37C \) es una constante de integración. Así que la respuesta final es: \[ \frac{74}{3} x^{3/2} + C' \]