$$ a_{n}=5 \cdot a_{n-1}-2, \quad $$ con $$ \quad a_{0}=2 $$

Question

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Para resolver la relación de recurrencia:

$$
a_n = 5 \cdot a_{n-1} - 2, \quad \text{con} \quad a_0 = 2
$$

seguimos los siguientes pasos:

### 1. Identificar la Naturaleza de la Ecuación
La relación dada es una **ecuación de recurrencia lineal de primer orden no homogénea**. Tiene la forma general:

$$
a_n = r \cdot a_{n-1} + d
$$

donde $$ r = 5 $$ y $$ d = -2 $$.

### 2. Encontrar la Solución de la Ecuación Homogénea Asociada
Primero resolvemos la ecuación homogénea asociada:

$$
a_n^{(h)} = 5 \cdot a_{n-1}^{(h)}
$$

La solución general de esta ecuación es:

$$
a_n^{(h)} = C \cdot 5^n
$$

donde $$ C $$ es una constante que se determinará usando la condición inicial.

### 3. Encontrar una Solución Particular de la Ecuación No Homogénea
Buscamos una solución particular ($$ a_n^{(p)} $$) de la forma constante, ya que el término no homogéneo es una constante:

$$
a_n^{(p)} = A
$$

Sustituyendo en la ecuación original:

$$
A = 5A - 2
$$

Resolviendo para $$ A $$:

$$
A - 5A = -2 \
-4A = -2 \
A = \frac{1}{2}
$$

Entonces, una solución particular es $$ a_n^{(p)} = \frac{1}{2} $$.

### 4. Escribir la Solución General
La solución general de la ecuación de recurrencia es la suma de la solución homogénea y la solución particular:

$$
a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} = C \cdot 5^n + \frac{1}{2}
$$

### 5. Determinar la Constante $$ C $$ Usando la Condición Inicial
Usamos la condición inicial $$ a_0 = 2 $$:

$$
a_0 = C \cdot 5^0 + \frac{1}{2} \
2 = C \cdot 1 + \frac{1}{2} \
C = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
$$

### 6. Escribir la Solución Final
Sustituyendo $$ C = \frac{3}{2} $$ en la solución general:

$$
a_n = \frac{3}{2} \cdot 5^n + \frac{1}{2}
$$

### Resumen
La solución explícita de la recurrencia es:

$$
a_n = \frac{3}{2} \cdot 5^n + \frac{1}{2}
$$

Esto nos permite calcular cualquier término $$ a_n $$ de la secuencia dado el índice $$ n $$.
La solución de la recurrencia es $$ a_n = \frac{3}{2} \cdot 5^n + \frac{1}{2} $$.

\( a_{n}=5 \cdot a_{n-1}-2, \quad \) con \( \quad a_{0}=2 \)

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