El número de manzanas que produce cada árbol en una huerta depende de la
densidad de árboles plantados. Si se plantan árboles en un terreno
determinado, entonces cada árbol produce manzanas.
a) ¿Cuántos árboles deben plantarse en el terreno para obtener una
producción máxima de manzanas?
b) ¿Cuál es la cantidad máxima de manzanas que pueden producirse?

Question

El número de manzanas que produce cada árbol en una huerta depende de la
densidad de árboles plantados. Si se plantan

árboles en un terreno
determinado, entonces cada árbol produce

manzanas.
a) ¿Cuántos árboles deben plantarse en el terreno para obtener una
producción máxima de manzanas?
b) ¿Cuál es la cantidad máxima de manzanas que pueden producirse?

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Para resolver este problema, utilizaremos la derivada de la función que representa la producción total de manzanas en función de la densidad de árboles plantados.

a) Primero, definamos la función $$ P(n) $$ que representa la producción total de manzanas en función de la densidad de árboles plantados $$ n $$:
$$ P(n) = n(900 - 9n) $$

Para encontrar el número óptimo de árboles, debemos encontrar el valor de $$ n $$ que maximiza $$ P(n) $$. Esto se hace tomando la derivada de $$ P(n) $$ y equilibrando en cero:
$$ P'(n) = 900 - 18n $$

Equilibrando en cero:
$$ 900 - 18n = 0 $$
$$ 18n = 900 $$
$$ n = \frac{900}{18} $$
$$ n = 50 $$

Por lo tanto, se deben plantar 50 árboles en el terreno para obtener una producción máxima de manzanas.

b) Ahora, para encontrar la cantidad máxima de manzanas que pueden producirse, sustituimos $$ n = 50 $$ en la función $$ P(n) $$:
$$ P(50) = 50(900 - 9 \cdot 50) $$
$$ P(50) = 50(900 - 450) $$
$$ P(50) = 50 \cdot 450 $$
$$ P(50) = 22500 $$

Por lo tanto, la cantidad máxima de manzanas que pueden producirse es de 22,500.
a) Plantar 50 árboles maximiza la producción de manzanas. b) La producción máxima es de 22,500 manzanas.

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