\begin{tabular}{|l|}\begin{tabular}{|l} 7. Please calculate step by step \ the remainder that results from the \ quotient expressed below using \ the Polynomial Remainder \ Theorem. \ $$ \left(-5 x^{3}+x^{2}-4 x ight) \div(x-3) $$ \ Please be explicit in writing each \ step and number each step. Also, \ please write a brief explanation \ with each step to explain what you \ are doing. \ Please conclude with a statement \ that explains whether $$ (x-3) $$ is a \ factor of the stated polynomial. \end{tabular} \ \hline\end{tabular}

Question

\begin{tabular}{|l|}\begin{tabular}{|l} 7. Please calculate step by step \ the remainder that results from the \ quotient expressed below using \ the Polynomial Remainder \ Theorem. \ $$ \left(-5 x^{3}+x^{2}-4 xight) \div(x-3) $$ \ Please be explicit in writing each \ step and number each step. Also, \ please write a brief explanation \ with each step to explain what you \ are doing. \ Please conclude with a statement \ that explains whether $$ (x-3) $$ is a \ factor of the stated polynomial. \end{tabular} \ \hline\end{tabular}

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Claro, a continuación se muestra el cálculo paso a paso del residuo al dividir el polinomio $$ -5x^{3} + x^{2} - 4x $$ entre $$ (x - 3) $$ utilizando el Teorema del Residuo. Cada paso está numerado y explicado detalladamente.

### Paso 1: Identificar el polinomio y el divisor
**Explicación:** Comenzamos identificando el polinomio que vamos a dividir y el divisor.

- **Polinomio (f(x))**: $$ -5x^{3} + x^{2} - 4x $$
- **Divisor**: $$ (x - 3) $$

### Paso 2: Aplicar el Teorema del Residuo
**Explicación:** El Teorema del Residuo nos indica que el residuo de la división de $$ f(x) $$ entre $$ (x - a) $$ es igual a $$ f(a) $$. En este caso, $$ a = 3 $$.

### Paso 3: Sustituir $$ x = 3 $$ en el polinomio
**Explicación:** Calculamos el valor de $$ f(3) $$ sustituyendo $$ x $$ por 3 en el polinomio dado.

$$
f(3) = -5(3)^{3} + (3)^{2} - 4(3)
$$

### Paso 4: Calcular las potencias
**Explicación:** Resolvemos las potencias de 3.

$$
3^{3} = 27 \quad \text{y} \quad 3^{2} = 9
$$

### Paso 5: Sustituir las potencias calculadas
**Explicación:** Reemplazamos los valores obtenidos en la expresión de $$ f(3) $$.

$$
f(3) = -5(27) + 9 - 12
$$

### Paso 6: Realizar las multiplicaciones
**Explicación:** Multiplicamos los coeficientes por las potencias de 3.

$$
-5(27) = -135 \quad \text{y} \quad -4(3) = -12
$$

### Paso 7: Sumar los términos
**Explicación:** Sumamos todos los términos resultantes.

$$
f(3) = -135 + 9 - 12
$$
$$
f(3) = -138
$$

### Paso 8: Determinar el residuo
**Explicación:** El valor obtenido $$ f(3) = -138 $$ es el residuo de la división.

### Conclusión
**Explicación:** Dado que el residuo es $$-138$$ y no igual a cero, $$ (x - 3) $$ **no** es un factor del polinomio $$ -5x^{3} + x^{2} - 4x $$.
El residuo es -138, por lo que $$ (x - 3) $$ no es un factor del polinomio.

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