16.1. Quando a engrenagem gira 20 revoluçees. ela alcança uma velocidade angular de \( \omega=30 \) rad/s. partindo do repouso Determine sua aceleraçio angular constante e o tempo necessirio.

Para encontrar a aceleração angular constante, podemos usar a relação entre a velocidade angular final (\( \omega_f \)), a velocidade angular inicial (\( \omega_i \)), a aceleração angular (\( \alpha \)) e o tempo (\( t \)). A fórmula que liga essas variáveis é: \[ \omega_f = \omega_i + \alpha \cdot t \] Dado que a engrenagem parte do repouso, \( \omega_i = 0 \). Portanto, a equação simplifica para: \[ 30 = 0 + \alpha \cdot t \quad \text{(1)} \] Agora, sabemos que a engrenagem gira 20 revoluções. Convertendo isso para radianos (1 revolução = \( 2\pi \) rad), temos: \[ \theta = 20 \cdot 2\pi = 40\pi \text{ rad} \] Usando outra relação de movimento angular, temos: \[ \theta = \omega_i \cdot t + \frac{1}{2} \alpha \cdot t^2 \] Como \( \omega_i = 0 \): \[ 40\pi = 0 + \frac{1}{2} \alpha \cdot t^2 \quad \text{(2)} \] Agora temos um sistema com duas equações (1) e (2). Da equação (1), podemos isolar \( \alpha \): \[ \alpha = \frac{30}{t} \] Substituindo \( \alpha \) na equação (2): \[ 40\pi = \frac{1}{2} \left(\frac{30}{t}\right) t^2 \] Isso simplifica para: \[ 40\pi = 15t \] Resolvendo para \( t \): \[ t = \frac{40\pi}{15} = \frac{8\pi}{3} \text{ s} \approx 8.38 \text{ s} \] Agora podemos usar este valor de \( t \) para encontrar \( \alpha \): \[ \alpha = \frac{30}{\frac{8\pi}{3}} = \frac{30 \cdot 3}{8\pi} \approx \frac{90}{25.13} \approx 3.57 \text{ rad/s²} \] Portanto, a aceleração angular constante é aproximadamente \( 3.57 \text{ rad/s²} \) e o tempo necessário para alcançar 30 rad/s é cerca de \( 8.38 \text{ s} \).