(c) Dire se esiste un endomorfismo \( F \) di \( \mathbb{R}^{3} \) tale che \[ \operatorname{dim} E(-1)=1 \quad \operatorname{Ker} F=\mathcal{L}((1,-1,0),(2,1,1)) \]

Per determinare se esiste un endomorfismo \( F \) di \( \mathbb{R}^{3} \) che soddisfi le condizioni date, dobbiamo analizzare le informazioni fornite. 1. **Condizione sulla dimensione dell'eigen spazio**: \[ \operatorname{dim} E(-1) = 1 \] Questo significa che l'eigen spazio associato all'autovalore \(-1\) ha dimensione 1. Ciò implica che ci sia un'unica direzione (un vettore proprio) in cui l'endomorfismo agisce moltiplicando per \(-1\). 2. **Condizione sul nucleo**: \[ \operatorname{Ker} F = \mathcal{L}((1,-1,0),(2,1,1)) \] Qui, il nucleo di \( F \) è generato dai vettori \((1,-1,0)\) e \((2,1,1)\). La dimensione del nucleo è quindi 2, il che significa che ci sono due direzioni in cui \( F \) manda i vettori all'origine. 3. **Dimensione dell'immagine**: Dato che \( F \) è un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione 3, possiamo applicare il teorema della dimensione: \[ \operatorname{dim} \mathbb{R}^{3} = \operatorname{dim} \operatorname{Ker} F + \operatorname{dim} \operatorname{Im} F \] Sappiamo che: - \( \operatorname{dim} \operatorname{Ker} F = 2 \) - \( \operatorname{dim} \mathbb{R}^{3} = 3 \) Quindi, possiamo calcolare la dimensione dell'immagine: \[ 3 = 2 + \operatorname{dim} \operatorname{Im} F \implies \operatorname{dim} \operatorname{Im} F = 1 \] 4. **Conclusione**: L'immagine di \( F \) ha dimensione 1, il che significa che \( F \) mappa tutto lo spazio in una direzione. Inoltre, abbiamo un autovalore \(-1\) con un eigen spazio di dimensione 1, il che implica che ci sono altri autovalori che devono essere considerati. Per costruire un endomorfismo \( F \) che soddisfi queste condizioni, possiamo definire \( F \) in modo che: - Gli autovettori associati a \(-1\) siano nella direzione di un vettore proprio, ad esempio \( v_1 = (1, 1, 0) \). - Gli altri due vettori nel nucleo siano mappati a zero. Un esempio di endomorfismo che soddisfa queste condizioni è: \[ F(x, y, z) = (-x, -y, 0) \] In questo caso, possiamo verificare che: - \( F(1, -1, 0) = (1, 1, 0) \) è un autovettore associato a \(-1\). - \( F(1, 1, 0) = (0, 0, 0) \) e \( F(2, 1, 1) = (0, 0, 0) \) sono nel nucleo. Pertanto, esiste un endomorfismo \( F \) di \( \mathbb{R}^{3} \) che soddisfa le condizioni date.