एक समतल वक्र \( r(t) = (t, t^2) \) पर दी गई दूरी को निर्धारित करें जो \( t = 0 \) से \( t = 2 \) तक होती है।

समतल वक्र \( r(t) = (t, t^2) \) पर \( t = 0 \) से \( t = 2 \) तक की दूरी (अंक लंबाई) निर्धारित करने के लिए हम आर्क लेंथ (Arc Length) का सूत्र उपयोग करेंगे। ### आर्क लेंथ का सूत्र: एक समतल वक्र \( r(t) = (x(t), y(t)) \) के लिए आर्क लेंथ \( L \) निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात किया जाता है: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \] जहाँ \( a \) और \( b \) क्रमशः प्रारंभिक और अंतिम मान हैं। ### समस्या में लागू करना: दी गई वक्र है \( r(t) = (t, t^2) \), जहाँ: \[ x(t) = t \\ y(t) = t^2 \] 1. **परिवर्तनों की गणना:** \[ \frac{dx}{dt} = 1 \\ \frac{dy}{dt} = 2t \] 2. **सूत्र में स्थानापन्न करना:** \[ L = \int_{0}^{2} \sqrt{(1)^2 + (2t)^2} \, dt = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4t^2} \, dt \] 3. **इंटीग्रल का हल:** इस इंटीग्रल को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित उपपद विधि (Substitution Method) का प्रयोग करेंगे: \[ \int \sqrt{1 + 4t^2} \, dt \] मान लें \( u = 2t \), तो \( du = 2 \, dt \) और \( dt = \frac{du}{2} \). इंटीग्रल का रूप बदल जाता है: \[ \frac{1}{2} \int \sqrt{1 + u^2} \, du \] यह एक मानक इंटीग्रल है, जिसका हल है: \[ \frac{1}{2} \left( \frac{u}{2} \sqrt{1 + u^2} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}(u) \right) + C \] उपस्थानानुसार वापस लौटते हुए: \[ \frac{2t}{4} \sqrt{1 + (2t)^2} + \frac{1}{4} \sinh^{-1}(2t) + C = \frac{t}{2} \sqrt{1 + 4t^2} + \frac{1}{4} \sinh^{-1}(2t) + C \] 4. **सीमाओं पर मूल्यांकन:** सीमा \( t = 0 \) से \( t = 2 \) तक होती है: \[ L = \left[ \frac{t}{2} \sqrt{1 + 4t^2} + \frac{1}{4} \sinh^{-1}(2t) \right]_0^2 \] \[ = \left( \frac{2}{2} \sqrt{1 + 4 \times 4} + \frac{1}{4} \sinh^{-1}(4) \right) - \left( 0 + \frac{1}{4} \sinh^{-1}(0) \right) \] \[ = \sqrt{17} + \frac{1}{4} \sinh^{-1}(4) \] 5. **लघुगणक रूपांतरण (वैकल्पिक):** चूंकि \( \sinh^{-1}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \), अतः: \[ \sinh^{-1}(4) = \ln\left(4 + \sqrt{17}\right) \] इस प्रकार, \[ L = \sqrt{17} + \frac{1}{4} \ln\left(4 + \sqrt{17}\right) \] ### संख्यात्मक मान (लगभग): यदि हम इसे संख्यात्मक रूप में प्रदर्शित करना चाहें: \[ \sqrt{17} \approx 4.1231 \\ \ln\left(4 + \sqrt{17}\right) \approx \ln(8.1231) \approx 2.095 \] इस प्रकार, \[ L \approx 4.1231 + \frac{1}{4} \times 2.095 \approx 4.1231 + 0.5238 \approx 4.6469 \text{ इकाइयाँ} \] ### निष्कर्ष: वक्र \( r(t) = (t, t^2) \) पर \( t = 0 \) से \( t = 2 \) तक की दूरी: \[ L = \sqrt{17} + \frac{1}{4} \ln\left(4 + \sqrt{17}\right) \approx 4.647 \text{ इकाइयाँ} \]