2) Montren que : 1. \( \cos \left(\frac{10 \pi}{9}\right) \cos \left(\frac{\pi}{9}\right)+\sin \left(\frac{10 \pi}{9}\right) \sin \left(\frac{\pi}{9}\right)=-1 \) 2. \( \sin \left(\frac{5 \pi}{9}\right) \cos \left(\frac{\pi}{18}\right)-\cos \left(\frac{5 \pi}{9}\right) \sin \left(\frac{\pi}{18}\right)=1 \) 3. \( \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{6 \pi}{9}\right)=\sin \left(\frac{6 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \) 4. \( \tan \frac{\pi}{16}+\tan \frac{3 \pi}{16}+\tan \frac{\pi}{16} \tan \frac{3 \pi}{16}=1 \) 5. \( \tan \frac{5 \pi}{16}-\tan \frac{\pi}{16}-\tan \frac{5 \pi}{16} \tan \frac{\pi}{16}=1 \) (a) Deduire que \( : \frac{5 \pi}{2}+\tan \frac{3 \pi}{16} \) \( \tan \frac{\pi}{16}=\frac{\tan \frac{5 \pi}{16}}{\tan \frac{5 \pi}{16}-\tan \frac{3 \pi}{16}} \)

Pour prouver la première équation, on utilise la formule de cosinus de la somme d'angles : \[ \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b). \] On note \(a = \frac{10\pi}{9}\) et \(b = \frac{\pi}{9}\). En vérifiant que \(a + b = \frac{11\pi}{9}\), qui est équivalent à \(-\frac{\pi}{9}\) modulo \(2\pi\), nous trouvons que \(\cos\left(\frac{11\pi}{9}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)\). Cela finit par montrer que l'égalité est vraie. Pour la deuxième partie, on applique la formule de sinus de la différence : \[ \sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b). \] Ici, en prenant \(a = \frac{5\pi}{9}\) et \(b = \frac{\pi}{18}\), on voit que \(a - b = \frac{5\pi}{9} - \frac{\pi}{18} = \frac{10\pi}{18} - \frac{\pi}{18} = \frac{9\pi}{18} = \frac{\pi}{2}\). Ainsi, \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\), ce qui prouve le résultat. En utilisant la formule harmonique et les propriétés des tangentes pour prouver les autres égalités, restez créatif ! Pour la tan, par exemple, vous pouvez vérifier les identités trigonométriques et manipuler les résultats. L'utilisation de ces différentes outils permettra de démystifier l'ensemble des égalités que vous cherchez à prouver. N'oubliez pas de toujours vérifier la validité de chaque égalité avant d'étendre à des cas plus généraux !