ARITMETICA - ALGEBRA A1. Hallar el valor de $$ E=\frac{x^{-1}+11}{x} $$, sabiendo que $$ x $$ es solución de la ecuación. $$ \frac{3}{4 x^{2}-1}-\frac{1}{2 x+1}=\frac{3}{2 x-1} $$ a) $$ 64 / 89 $$ b) 152 . c) $$ 89 / 64 $$ d) 154 e) Ninguno A2. Halla la solución $$ x $$ tal que $$ x \geq 5 $$ de la ecuación $$ \log _{2}(x+1)+\log _{2}(3 x-5)=\log _{2}(5 x-3)+2 $$ a) 2 b) 7 . c) 6 d) 8 e) Ninguno 43. Halle el producto de las soluciones de la ecuación: $$ \sqrt{2-3 x}+\sqrt{11+3 x}=5 $$ a) $$ 14 / 9 $$ = b) $$ 15 / 7 $$ c) $$ 4 / 3 $$ d) $$ 20 / 9 $$ e) Ninguno A4. Resolver la siguiente ecuación exponencial: a) $$ \ln \left(\frac{12}{12}\right) $$ b) $$ -\ln \left(\frac{12}{12}\right) $$ $$ \frac{e^{y}-1}{2-3 e^{y}}=\frac{2}{7} $$ c) $$ \ln \left(\frac{12}{13}\right) $$ d) $$ -\ln \left(\frac{13}{11}\right) $$ e) Ninguno-

Question

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Vamos a resolver cada uno de los ejercicios planteados:

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**A1. Hallar el valor de $$ E=\frac{x^{-1}+11}{x} $$, sabiendo que $$ x $$ es solución de la ecuación.**
$$
\frac{3}{4 x^{2}-1}-\frac{1}{2 x+1}=\frac{3}{2 x-1}
$$

**Resolución:**
1. Factorizamos el denominador $$4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$$.
2. Multiplicamos todos los términos por $$(2x - 1)(2x + 1)$$ para eliminar las fracciones:
   $$
   3 - (2x - 1) = 3(2x + 1)
   $$
3. Simplificamos:
   $$
   4 - 2x = 6x + 3 \
   1 = 8x \
   x = \frac{1}{8}
   $$
4. Calculamos $$ E $$:
   $$
   E = \frac{x^{-1} + 11}{x} = \frac{8 + 11}{\frac{1}{8}} = \frac{19}{\frac{1}{8}} = 152
   $$

**Respuesta:** **b) 152**

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**A2. Halla la solución $$ x $$ tal que $$ x \geq 5 $$ de la ecuación $$ \log _{2}(x+1)+\log _{2}(3 x-5)=\log _{2}(5 x-3)+2 $$.**

**Resolución:**
1. Utilizamos las propiedades de los logaritmos:
   $$
   \log_2((x+1)(3x-5)) = \log_2(5x - 3) + 2 \
   \log_2((x+1)(3x-5)) = \log_2(4(5x - 3))
   $$
2. Igualamos los argumentos:
   $$
   (x+1)(3x - 5) = 4(5x - 3) \
   3x^2 - 2x - 5 = 20x - 12 \
   3x^2 - 22x + 7 = 0
   $$
3. Resolvemos la ecuación cuadrática:
   $$
   x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 84}}{6} = \frac{22 \pm 20}{6} \
   x = 7 \quad \text{(válido, ya que } x \geq 5)
   $$
   
**Respuesta:** **b) 7**

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**43. Halle el producto de las soluciones de la ecuación:**
$$
\sqrt{2-3x}+\sqrt{11+3x}=5
$$

**Resolución:**
1. Sea $$ \sqrt{2-3x} = a $$ y $$ \sqrt{11+3x} = b $$, entonces:
   $$
   a + b = 5 \
   a^2 + b^2 = 13
   $$
2. Al elevar al cuadrado y simplificar:
   $$
   2ab = 12 \Rightarrow ab = 6
   $$
3. Las soluciones para $$ a $$ y $$ b $$ son $$ a=2, b=3 $$ y $$ a=3, b=2 $$, lo que da dos posibles valores de $$ x $$:
   $$
   x = -\frac{2}{3} \quad \text{y} \quad x = -\frac{7}{3}
   $$
4. El producto de las soluciones es:
   $$
   \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{14}{9}
   $$

**Respuesta:** **a) $$ \frac{14}{9} $$**

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**A4. Resolver la siguiente ecuación exponencial:**
$$
\frac{e^{y}-1}{2-3 e^{y}}=\frac{2}{7}
$$

**Resolución:**
1. Igualamos y resolvemos para $$ e^y $$:
   $$
   \frac{e^{y}-1}{2-3 e^{y}} = \frac{2}{7} \
   7(e^y - 1) = 2(2 - 3e^y) \
   7e^y - 7 = 4 - 6e^y \
   13e^y = 11 \
   e^y = \frac{11}{13} \
   y = \ln\left(\frac{11}{13}\right) = -\ln\left(\frac{13}{11}\right)
   $$
   
**Respuesta:** **d) $$ -\ln \left(\frac{13}{11}\right) $$**

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**A1.** El valor de $$ E $$ es **152**. **A2.** La solución es **7**. **43.** El producto de las soluciones es **14/9**. **A4.** La solución es **$$ -\ln \left(\frac{13}{11}\right) $$**.

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