2.- Sea \( z=r\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right) \quad w=2(\cos \theta+i \sin \theta) \) Si \( z * w=6 i ; \) Determine \( r y \theta \)

Para resolver la ecuación \( z * w = 6i \) dadas las expresiones de \( z \) y \( w \), comencemos evaluando \( z \) en su forma polar. Sabemos que: \[ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \quad y \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Por lo tanto, \[ z = r\left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = r \cdot \frac{1}{2} + i \cdot r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Ahora, utilizando \( w = 2(\cos \theta + i \sin \theta) \), podemos representarlo como: \[ w = 2 \cos \theta + i \cdot 2 \sin \theta \] Multiplicando \( z \) y \( w \): \[ z * w = \left(r \cdot \frac{1}{2} + i \cdot r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (2 \cos \theta + i \cdot 2 \sin \theta) \] Ahora, usando la propiedad de la multiplicación de números complejos, podemos expandirlo: \[ = (r \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cos \theta - r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 \sin \theta) + i (r \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \sin \theta + r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 \cos \theta) \] Simplificando obtenemos: \[ = r \cos \theta - r \sqrt{3} \sin \theta + i (r \sin \theta + r \sqrt{3} \cos \theta) \] Igualando esto con \( 6i \): 1. Parte real: \( r \cos \theta - r \sqrt{3} \sin \theta = 0 \) 2. Parte imaginaria: \( r \sin \theta + r \sqrt{3} \cos \theta = 6 \) De la primera ecuación: \[ r \cos \theta = r \sqrt{3} \sin \theta \implies \cos \theta = \sqrt{3} \sin \theta \implies \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = \frac{\pi}{6} \] Sustituyendo \( \theta \) en la segunda ecuación: \[ r \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + r \sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 6 \] Recordando que \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \) y \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), obtenemos: \[ r \cdot \frac{1}{2} + r \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \] Simplificamos: \[ r \cdot \frac{1}{2} + r \cdot \frac{3}{2} = 6 \implies r \cdot 2 = 6 \implies r = 3 \] Finalmente, tenemos: \[ r = 3 \quad y \quad \theta = \frac{\pi}{6} \]