Farw Di Reruta $$ \left(\frac{\pi}{3}\right)^{x+2}=\left(\frac{3}{5}\right)^{x} $$

Question

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Per risolvere l'equazione esponenziale:

$$
\left(\frac{\pi}{3}\right)^{x+2} = \left(\frac{3}{5}\right)^{x}
$$

seguiamo i seguenti passaggi:

### Passo 1: Applicare il logaritmo ad entrambi i lati
Prendiamo il logaritmo naturale (ln) di entrambi i lati dell'equazione:

$$
\ln\left(\left(\frac{\pi}{3}\right)^{x+2}\right) = \ln\left(\left(\frac{3}{5}\right)^{x}\right)
$$

### Passo 2: Utilizzare le proprietà dei logaritmi
Applichiamo la proprietà $$ \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) $$:

$$
(x + 2) \cdot \ln\left(\frac{\pi}{3}\right) = x \cdot \ln\left(\frac{3}{5}\right)
$$

### Passo 3: Isolare il termine con $$ x $$
Distribuiamo il termine a sinistra:

$$
x \cdot \ln\left(\frac{\pi}{3}\right) + 2 \cdot \ln\left(\frac{\pi}{3}\right) = x \cdot \ln\left(\frac{3}{5}\right)
$$

Portiamo tutti i termini contenenti $$ x $$ a un lato e gli altri termini all'altro lato:

$$
x \cdot \ln\left(\frac{\pi}{3}\right) - x \cdot \ln\left(\frac{3}{5}\right) = -2 \cdot \ln\left(\frac{\pi}{3}\right)
$$

### Passo 4: Fattorizzare $$ x $$
Fattorizziamo $$ x $$ dal lato sinistro:

$$
x \left[ \ln\left(\frac{\pi}{3}\right) - \ln\left(\frac{3}{5}\right) \right] = -2 \cdot \ln\left(\frac{\pi}{3}\right)
$$

### Passo 5: Risolvere per $$ x $$
Isoliamo $$ x $$:

$$
x = \frac{ -2 \cdot \ln\left(\frac{\pi}{3}\right) }{ \ln\left(\frac{\pi}{3}\right) - \ln\left(\frac{3}{5}\right) }
$$

### Passo 6: Semplificare ulteriormente (opzionale)
Possiamo semplificare l'espressione usando le proprietà dei logaritmi:

$$
x = \frac{ -2 \cdot \ln\left(\frac{\pi}{3}\right) }{ \ln\left(\frac{\pi}{3} \cdot \frac{5}{3}\right) } = \frac{ -2 \cdot \ln\left(\frac{\pi}{3}\right) }{ \ln\left(\frac{5\pi}{9}\right) }
$$

### Passo 7: Calcolare un'approssimazione numerica
Calcoliamo il valore numerico approssimato utilizzando i valori di $$ \pi $$ e le proprietà dei logaritmi:

$$
\ln\left(\frac{\pi}{3}\right) \approx \ln(1.0472) \approx 0.0461
$$
$$
\ln\left(\frac{3}{5}\right) \approx \ln(0.6) \approx -0.5108
$$
$$
\ln\left(\frac{5\pi}{9}\right) \approx \ln(1.7453) \approx 0.5573
$$

Inseriamo questi valori nell'equazione per $$ x $$:

$$
x \approx \frac{ -2 \cdot 0.0461 }{ 0.0461 - (-0.5108) } = \frac{ -0.0922 }{ 0.5569 } \approx -0.1656
$$

### Risposta Finale
L'unica soluzione dell'equazione è approssimativamente:

$$
x \approx -0{,}166
$$
L'unica soluzione dell'equazione è $$ x \approx -0{,}166 $$.

Farw Di Reruta \( \left(\frac{\pi}{3}\right)^{x+2}=\left(\frac{3}{5}\right)^{x} \)

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