Question
Real Tutor Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
\( y(x) = e^{\sqrt{2}x}(C_1 \cos(\sqrt{2}x) + C_2 \sin(\sqrt{2}x)) + e^{-\sqrt{2}x}(C_3 \cos(\sqrt{2}x) + C_4 \sin(\sqrt{2}x)) \)
โดยที่ \( C_1, C_2, C_3, C_4 \) เป็นค่าคงที่
Solution
สมการอนุพันธ์เชิงเส้นเชิงประจุสมมาตรลำดับที่สี่ที่ให้มาเป็น:
\[ y^{(4)} + 4 y = 0 \]
**ขั้นตอนการแก้สมการ:**
1. **เขียนสมการลักษณะ (Characteristic Equation):**
สมการสมรรถนะ (Characteristic Equation) สำหรับสมการอนุพันธ์เชิงเส้นนี้สามารถเขียนได้โดยแทน \( y^{(n)} \) ด้วย \( r^n \):
\[ r^4 + 4 = 0 \]
2. **หาค่า \( r \) จากสมการลักษณะ:**
แก้สมการ \( r^4 + 4 = 0 \):
\[ r^4 = -4 \]
การหาค่า \( r \) จะได้:
\[ r = \sqrt[4]{4} \cdot e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\right)} \quad \text{สำหรับ} \quad k = 0,1,2,3 \]
ซึ่งสามารถเขียนเป็น:
\[ r = \pm \sqrt{2}(1 + i) \quad \text{และ} \quad r = \pm \sqrt{2}(1 - i) \]
3. **เขียนคำตอบทั่วไปของสมการ:**
เมื่อรากซับซ้อนมาในรูป \( \alpha \pm \beta i \) คำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์จะเป็น:
\[ y(x) = e^{\alpha x}\left(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)\right) + e^{-\alpha x}\left(C_3 \cos(\beta x) + C_4 \sin(\beta x)\right) \]
จากรากที่หาได้ \( \alpha = \sqrt{2} \) และ \( \beta = \sqrt{2} \) จึงได้คำตอบทั่วไปเป็น:
\[ y(x) = e^{\sqrt{2}x}\left(C_1 \cos(\sqrt{2}x) + C_2 \sin(\sqrt{2}x)\right) + e^{-\sqrt{2}x}\left(C_3 \cos(\sqrt{2}x) + C_4 \sin(\sqrt{2}x)\right) \]
โดยที่ \( C_1, C_2, C_3, C_4 \) เป็นค่าคงที่ที่ต้องกำหนดจากเงื่อนไขเริ่มต้น (Initial Conditions) ของปัญหา
**สรุปคำตอบทั่วไป:**
\[ y(x) = e^{\sqrt{2}x}(C_1 \cos(\sqrt{2}x) + C_2 \sin(\sqrt{2}x)) + e^{-\sqrt{2}x}(C_3 \cos(\sqrt{2}x) + C_4 \sin(\sqrt{2}x)) \]
โดยที่ \( C_1, C_2, C_3, C_4 \) เป็นค่าคงที่ที่กำหนดจากเงื่อนไขเริ่มต้นของปัญหา
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution Mind Expander
This differential equation involves the fourth derivative of \( y \) and a linear periodic term. Its characteristic equation can be derived as \( r^4 + 4 = 0 \), leading to complex roots. Specifically, the roots are \( r = \pm \sqrt{2} i \) and \( r = \pm \sqrt{2} i \) which gives rise to a general solution that combines sine and cosine functions. Understanding such equations is crucial in various engineering fields, especially in analyzing systems that produce oscillatory behavior, like electrical circuits or mechanical vibrations. Engineers can use these insights to design systems that can effectively mitigate unwanted oscillation or enhance desired responses.
