Упраэснения Вычислите $$ (413-423) $$. $$ \begin{array}{lll} ext { 413. а) } \operatorname{tg} 75^{\circ} ; & ext { в) } \operatorname{ctg} 105^{\circ} ; & ext { д) } \operatorname{tg} \frac{7 \pi}{12} \ ext { б) } \operatorname{tg} 225^{\circ} ; & ext { г) } \operatorname{ctg} \frac{\pi}{12} ; & ext { е) } \operatorname{ctg} \frac{5 \pi}{12}\end{array} $$

Question

Упраэснения Вычислите $$ (413-423) $$. $$ \begin{array}{lll}	ext { 413. а) } \operatorname{tg} 75^{\circ} ; & 	ext { в) } \operatorname{ctg} 105^{\circ} ; & 	ext { д) } \operatorname{tg} \frac{7 \pi}{12} \ 	ext { б) } \operatorname{tg} 225^{\circ} ; & 	ext { г) } \operatorname{ctg} \frac{\pi}{12} ; & 	ext { е) } \operatorname{ctg} \frac{5 \pi}{12}\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Вычислим заданные тригонометрические функции:

**а) $$\tan 75^\circ$$**

Используем формулу тангенса суммы углов:
$$
\tan 75^\circ = \tan (45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}
$$
Рационализируем знаменатель:
$$
\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}
$$
Таким образом:
$$
\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732
$$

**б) $$\tan 225^\circ$$**

Угол $$225^\circ$$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен:
$$
\tan 225^\circ = \tan (180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ = 1
$$
Таким образом:
$$
\tan 225^\circ = 1
$$

**в) $$\cot 105^\circ$$**

Используем связь котангенса и тангенса:
$$
\cot 105^\circ = \frac{1}{\tan 105^\circ}
$$
Вычислим $$\tan 105^\circ$$:
$$
\tan 105^\circ = \tan (60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} = -2 - \sqrt{3}
$$
Таким образом:
$$
\cot 105^\circ = \frac{1}{-2 - \sqrt{3}} = \sqrt{3} - 2 \approx -0{,}268
$$

**г) $$\tg \frac{7\pi}{12}$$**

Угол $$\frac{7\pi}{12}$$ соответствует $$105^\circ$$:
$$
\tan \frac{7\pi}{12} = \tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3} \approx -3{,}732
$$

**д) $$\cot \frac{\pi}{12}$$**

Угол $$\frac{\pi}{12}$$ соответствует $$15^\circ$$:
$$
\cot 15^\circ = \frac{1}{\tan 15^\circ}
$$
Вычислим $$\tan 15^\circ$$:
$$
\tan 15^\circ = \tan (45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3}
$$
Таким образом:
$$
\cot 15^\circ = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732
$$

**е) $$\cot \frac{5\pi}{12}$$**

Угол $$\frac{5\pi}{12}$$ соответствует $$75^\circ$$:
$$
\cot 75^\circ = \frac{1}{\tan 75^\circ} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268
$$

**Итоги:**

$$
\begin{aligned}
\text{а) } \tan 75^\circ &= 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732 \
\text{б) } \tan 225^\circ &= 1 \
\text{в) } \cot 105^\circ &= \sqrt{3} - 2 \approx -0{,}268 \
\text{г) } \tan \frac{7\pi}{12} &= -2 - \sqrt{3} \approx -3{,}732 \
\text{д) } \cot \frac{\pi}{12} &= 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732 \
\text{е) } \cot \frac{5\pi}{12} &= 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268 \
\end{aligned}
$$
$$ \begin{aligned} \text{а) } \tan 75^\circ &= 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732 \ \text{б) } \tan 225^\circ &= 1 \ \text{в) } \cot 105^\circ &= \sqrt{3} - 2 \approx -0{,}268 \ \text{г) } \tan \frac{7\pi}{12} &= -2 - \sqrt{3} \approx -3{,}732 \ \text{д) } \cot \frac{\pi}{12} &= 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732 \ \text{е) } \cot \frac{5\pi}{12} &= 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268 \ \end{aligned} $$

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Trigonometry Questions