Esercizio 1. Calcolare la soluzione del problema di Cauchy \[ \begin{aligned} y^{\prime}+\frac{1}{x} y & =\exp \left(2 x^{2}\right) \\ y(1) & =\frac{1}{6} \end{aligned} \] [Punteggio: 5 punti] Esercizio 2. Si consideri il campo scalare \[ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{5\left(x^{2}+6 y^{2}\right) \sin \left(x^{2}-y^{2}\right)}{3\left(x^{2}+y^{2}\right)} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array} .\right. \] 1. Il campo \( f \) è continuo in \( (0,0) \) ? 2. Calcolare \( \nabla f(0,0) \). 3. Il campo \( f \) è differenziabile in \( (0,0) \) ? [Punteggio: 6 punti] Esercizio 3. Determinare i punti di estremo relativo per la funzione \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) data \[ f(x, y)=\exp \left(x^{2}\right)+\exp \left(\frac{y^{3}}{3}-4 y\right) \] [Punteggio: 5 punti] Esercizio 4. Sia \[ D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0,4 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9\right\} \] Calcolare \[ \iint_{D} \frac{|y| \exp \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \] [Punteggio: 6 punti]

**Esercizio 1.** Risolvere il problema di Cauchy: \[ \begin{aligned} y^{\prime} + \frac{1}{x} y &= \exp\left(2x^{2}\right), \\ y(1) &= \frac{1}{6}. \end{aligned} \] **Passaggi della soluzione:** 1. **Forma dell'equazione differenziale lineare:** \[ y' + P(x) y = Q(x), \quad \text{dove } P(x) = \frac{1}{x}, \quad Q(x) = e^{2x^{2}}. \] 2. **Calcolo del fattore integrante \(\mu(x)\):** \[ \mu(x) = \exp\left(\int P(x)\,dx\right) = \exp\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right) = x. \] 3. **Moltiplicare l'equazione differenziale per \(\mu(x)\):** \[ x y' + y = x e^{2x^{2}}. \] Il lato sinistro diventa la derivata di \(x y\): \[ \frac{d}{dx}(x y) = x e^{2x^{2}}. \] 4. **Integrare entrambi i lati:** \[ x y = \int x e^{2x^{2}}\,dx + C. \] Effettuiamo il cambiamento di variabile \(u = 2x^{2}\), \(du = 4x\,dx\), quindi \(x\,dx = \frac{1}{4} du\): \[ \int x e^{2x^{2}}\,dx = \frac{1}{4} \int e^{u}\,du = \frac{1}{4} e^{u} + C = \frac{1}{4} e^{2x^{2}} + C. \] Quindi: \[ x y = \frac{1}{4} e^{2x^{2}} + C \quad \Rightarrow \quad y = \frac{e^{2x^{2}}}{4x} + \frac{C}{x}. \] 5. **Applicare la condizione iniziale \(y(1) = \frac{1}{6}\):** \[ \frac{1}{6} = \frac{e^{2 \cdot 1^{2}}}{4 \cdot 1} + \frac{C}{1} \quad \Rightarrow \quad C = \frac{1}{6} - \frac{e^{2}}{4}. \] 6. **Soluzione generale:** \[ y(x) = \frac{e^{2x^{2}}}{4x} + \frac{1}{6x} - \frac{e^{2}}{4x} = \frac{e^{2x^{2}} - e^{2}}{4x} + \frac{1}{6x}. \] **Risultato Finale:** \[ y(x) = \frac{e^{2x^{2}} - e^{2}}{4x} + \frac{1}{6x} \]