Let a be a nonzero vector in $$ \mathbb{R}^{2} $$. Define $$ \tau_{\mathbf{a}}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $$ by $$ \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{x})=-\mathbf{x}+2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a} . $$ 2. Let a be a nonzero vector of $$ \mathbb{R}^{2} $$. Answer the following questions (iv) Find all eigen-values of $$ \left[\tau_{\mathbf{a}}\right]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

주어진 변환 $$ \tau_{\mathbf{a}} $$는 벡터 $$ \mathbf{a} $$에 대해 반사(reflection) 변환을 나타냅니다. 이 변환의 고유값을 찾기 위해, 먼저 변환의 성질을 이해해야 합니다.

1. **변환의 성질**: 
   $$
   \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{x}) = -\mathbf{x} + 2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a}
   $$
   이 식은 벡터 $$ \mathbf{x} $$를 벡터 $$ \mathbf{a} $$에 대해 반사하는 것을 나타냅니다. 즉, $$ \mathbf{a} $$의 방향으로는 변하지 않고, $$ \mathbf{a} $$에 수직인 방향으로는 반사됩니다.

2. **고유값 찾기**:
   - $$ \mathbf{a} $$의 방향으로의 벡터 $$ \mathbf{v} = k \mathbf{a} $$ (여기서 $$ k $$는 스칼라)일 때:
     $$
     \tau_{\mathbf{a}}(k \mathbf{a}) = -k \mathbf{a} + 2 \frac{\mathbf{a} \cdot (k \mathbf{a})}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a} = -k \mathbf{a} + 2k \mathbf{a} = k \mathbf{a}
     $$
     따라서, $$ \tau_{\mathbf{a}} $$는 $$ \mathbf{a} $$의 방향으로는 변하지 않으므로 고유값이 $$ 1 $$입니다.

- $$ \mathbf{a} $$에 수직인 벡터 $$ \mathbf{u} $$일 때:
     $$
     \tau_{\mathbf{a}}(\mathbf{u}) = -\mathbf{u} + 2 \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{u}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a} = -\mathbf{u} + 0 = -\mathbf{u}
     $$
     따라서, $$ \tau_{\mathbf{a}} $$는 $$ \mathbf{a} $$에 수직인 방향으로는 반사하므로 고유값이 $$ -1 $$입니다.

3. **결론**:
   따라서, 변환 $$ \tau_{\mathbf{a}} $$의 모든 고유값은 다음과 같습니다:
   - 고유값 $$ 1 $$ (벡터 $$ \mathbf{a} $$의 방향)
   - 고유값 $$ -1 $$ (벡터 $$ \mathbf{a} $$에 수직인 방향)

결과적으로, $$ \tau_{\mathbf{a}} $$의 고유값은 $$ 1 $$과 $$ -1 $$입니다.
고유값은 $$ 1 $$과 $$ -1 $$입니다.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Other Questions