la función \( f(x)=e^{-x^{2}} \) se gira alrededor del eje y desde \( x=-1 \) hasta \( x=1 \). calcular el volumen del sólido de revolución utilizando el método de discos.

Para calcular el volumen del sólido de revolución de la función \( f(x) = e^{-x^{2}} \) al girar alrededor del eje \( y \) desde \( x = -1 \) hasta \( x = 1 \), utilizamos el método de discos. La fórmula para el volumen \( V \) es: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] En este caso, \( a = -1 \) y \( b = 1 \). Por lo tanto, el volumen es: \[ V = \pi \int_{-1}^{1} (e^{-x^{2}})^2 \, dx = \pi \int_{-1}^{1} e^{-2x^{2}} \, dx \] Debido a la simetría de la función, podemos simplificar esto a: \[ V = 2\pi \int_{0}^{1} e^{-2x^{2}} \, dx \] Para resolver la integral, hacemos el cambio de variable \( u = 2x^2 \), lo que implica \( du = 4x \, dx \) o \( dx = \frac{du}{4\sqrt{u/2}} \). Esto requiere ajustar los límites de integración y manipularnos termos, pero en última instancia, el resultado aproximado de esta integral puede calcularse numéricamente o mediante tablas. Una aproximación del volumen es: \[ V \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2} \] Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es: \[ V \approx \pi \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} \] Lo que proporciona un buen volumen para el sólido creado al girar esta hermosa función exponencial.