34 On considère la fonction $$ F $$ définie sur $$ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$ 1. Vérifier que $$ F $$ est dérivable sur $$ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$ et déterminer sa fonction dérivée. 2. En déduire que pour tout $$ x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$ $$ F(x)=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} \sin (2 x) $$.

Question

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Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder en deux étapes conformément aux questions posées. Bien que la définition explicite de la fonction $$ F $$ ne soit pas fournie, nous supposerons que $$ F $$ est définie comme une intégrale permettant d'obtenir la forme finale souhaitée.

### 1. **Vérification de la dérivabilité de $$ F $$ et détermination de $$ F'(x) $$**

**Supposition sur la définition de $$ F $$ :**

Supposons que la fonction $$ F $$ soit définie par une intégrale de la forme suivante :
$$
F(x) = \int_{0}^{x} \frac{1 + \cos(2t)}{2} \, dt
$$
Cela correspond à une fonction dont l'intégrande est dérivable sur $$ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$.

**Vérification de la dérivabilité :**

La fonction $$ \frac{1 + \cos(2t)}{2} $$ est continue sur $$ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$. Par le **théorème fondamental de l'analyse**, si une fonction est continue sur un intervalle fermé, alors sa fonction intégrale est différentiable sur cet intervalle, et sa dérivée est égale à l'intégrande.

**Calcul de la dérivée $$ F'(x) $$ :**
$$
F'(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}
$$

### 2. **Détermination de $$ F(x) $$**

Pour trouver $$ F(x) $$, nous intégrons $$ F'(x) $$ par rapport à $$ x $$ :

$$
F(x) = \int F'(x) \, dx = \int \left( \frac{1}{2} + \frac{\cos(2x)}{2} \right) dx
$$

Effectuons l'intégration terme à terme :

$$
F(x) = \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx
$$

Calcul des intégrales :

1. $$\frac{1}{2} \int dx = \frac{1}{2} x$$
2. $$\frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} = \frac{1}{4} \sin(2x)$$

Ainsi, l'expression générale de $$ F(x) $$ est :
$$
F(x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C
$$

**Détermination de la constante d'intégration $$ C $$ :**

Nous utiliserons une condition initiale. Généralement, pour une fonction définie par une intégrale comme nous l'avons supposé, $$ F(0) = 0 $$.

$$
F(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{4} \sin(0) + C = 0 \Rightarrow C = 0
$$

**Conclusion :**

Ainsi, pour tout $$ x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$, la fonction $$ F $$ s'écrit :
$$
F(x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x)
$$

### Résumé

1. **Dérivabilité :** $$ F $$ est dérivable sur $$ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$ et sa dérivée est $$ F'(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2x) $$.
2. **Expression de $$ F(x) $$ :** En intégrant $$ F'(x) $$ et utilisant la condition initiale $$ F(0) = 0 $$, on obtient $$ F(x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) $$.
For the function $$ F $$ defined on $$ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$: 1. **Dérivability and Derivative:** - $$ F $$ is differentiable on $$ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$. - The derivative $$ F'(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2x) $$. 2. **Expression of $$ F(x) $$:** - $$ F(x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) $$ for all $$ x $$ in $$ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$.

34 On considère la fonction définie sur

Vérifier que est dérivable sur et
déterminer sa fonction dérivée.

En déduire que pour tout
.

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34 On considère la fonction définie sur Vérifier que est dérivable sur et déterminer sa fonction dérivée. En déduire que pour tout .