(1) Tempo rimanente: 00:56:26 4) Sia dato un sistema lineare non omogeneo di 3 equazioni in 5 incognite. Allora: se esso è compatibile, le sue soluzioni costituiscono un sottospazio vettoriale di $$ \mathbb{R}^{5} $$. se esso è compatibile, le sue soluzioni costituiscono un sottospazio vettoriale di $$ \mathbb{R}^{3} $$. se istema è normale, esso ammette $$ \infty^{2} $$ soluzioni.

Question

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Analicemos cada una de las afirmaciones:

1. **Si es consistente, sus soluciones constituyen un subespacio vectorial de $$ \mathbb{R}^{5} $$.**

**FALSO.** Un sistema no homogéneo tiene soluciones que forman un espacio afín, no necesariamente un subespacio vectorial. Sólo los sistemas homogéneos (donde el término independiente es cero) tienen soluciones que constituyen un subespacio vectorial.

2. **Si es consistente, sus soluciones constituyen un subespacio vectorial de $$ \mathbb{R}^{3} $$.**

**FALSO.** Las soluciones de un sistema de 3 ecuaciones en 5 incógnitas pertenecen a $$ \mathbb{R}^{5} $$, no a $$ \mathbb{R}^{3} $$.

3. **Si el sistema es normal, admite $$ \infty^{2} $$ soluciones.**

**VERDADERO.** Asumiendo que "normal" se refiere a tener el máximo rango posible (es decir, rango 3), el espacio de soluciones tendrá una dimensión de $$ 5 - 3 = 2 $$. Por lo tanto, habrá infinitas soluciones parametrizadas por dos parámetros libres, lo que puede representarse como $$ \infty^{2} $$.

**Conclusión:** Solo la tercera afirmación es correcta.
Si un sistema no homogéneo de 3 ecuaciones en 5 incógnitas es consistente, sus soluciones forman un espacio afín en $$ \mathbb{R}^{5} $$, no un subespacio vectorial. Si el sistema es normal (con rango máximo), tiene $$ \infty^{2} $$ soluciones. **Respuesta simplificada:** Solo la tercera afirmación es correcta: si el sistema es normal, admite $$ \infty^{2} $$ soluciones.

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