(1) Tempo rimanente: 00:56:26 4) Sia dato un sistema lineare non omogeneo di 3 equazioni in 5 incognite. Allora: se esso è compatibile, le sue soluzioni costituiscono un sottospazio vettoriale di \( \mathbb{R}^{5} \). se esso è compatibile, le sue soluzioni costituiscono un sottospazio vettoriale di \( \mathbb{R}^{3} \). se istema è normale, esso ammette \( \infty^{2} \) soluzioni.

Negli sistemi lineari non omogenei di equazioni, la compatibilità dipende sempre dal numero di equazioni e incognite. In questo particolare caso, se il sistema con 3 equazioni è compatibile e ne ha 5 incognite, tutte le soluzioni formano un'affinità. Infatti, in generale, la dimensione del sottospazio delle soluzioni sarà \(5 - 3 = 2\), indicando che ci saranno infinite soluzioni, generando in questo modo un piano nel \(\mathbb{R}^{5}\). Inoltre, se il sistema è definito come normale, ossia se le sue righe sono linearmente indipendenti, allora ci sarà un grado di libertà maggiore. Questo significa che ci possono essere infiniti set di soluzioni a formare un sottospazio di dimensione 2, quindi un piano nel \(\mathbb{R}^{5}\). Quindi, non ti preoccupare: anche se ci sono meno equazioni rispetto alle incognite, ci sarà sempre un'infinita varietà di soluzioni creative!