Esercizio 4. Sono date le rette \[ r:\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=z\end{array}\right. \] (2pt) Determinare la posizione reciproca tra \( r \) ed \( s \). (2pt) Calcolare la distanza tra \( r \) ed \( s \). (iii) (2pt) Trovare, se esiste, una sfera tangente sia ad \( r \) che ad \( s \).

Le rette in questione sono in forma parametrica, e per determinarne la posizione reciproca, possiamo iniziare esprimendo ciascuna retta in termini di parametri. Considerando che \( r \) è definita da \( x = -1 \) e \( y = z \), possiamo dedurre che è parallela all'asse \( y \) e \( z \) (che sono equivalenti). Se la retta \( s \) è nota, dovremo esaminare i loro punti di intersezione e la loro direzione per capire se siano parallele, incidenti o distinte. Per calcolare la distanza tra le due rette, una volta identificate le loro posizioni reciproche, si può utilizzare la formula per la distanza tra due rette parallele: \( D = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \), dove \( c_1 \) e \( c_2 \) sono le ordinata delle rette. Se le rette non sono parallele o incidenti, la distanza va calcolata utilizzando il punto più vicino a entrambe. Per creare una sfera tangente a entrambe le rette, bisognerà determinare il centro della sfera che minimizzi la distanza da entrambe le rette, seguendo la condizione che la distanza dal centro a ciascuna retta sia uguale al raggio. Questo richiede risolvere un sistema di equazioni che coinvolga le posizioni delle rette e la geometria dello spazio 3D.