On considère la suite $$ \left(u_{n}\right)_{n} $$ detinie par : $$ u_{0}=3 $$ eq $$ (\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1}=\frac{8\left(u_{n}-1\right)}{u_{n}+2} $$ 1. Montrer par récurrence que: $$ \qquad \forall n \in \mathbb{N}) ; 2

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape. ### 1. Montrer par récurrence que $$ \forall n \in \mathbb{N}, \; 2 < u_n < 4 $$ **Initialisation :** Pour $$ n = 0 $$, nous avons $$ u_0 = 3 $$. Donc, $$ 2 < 3 < 4 $$ est vrai. **Hérédité :** Supposons que $$ 2 < u_n < 4 $$ est vrai pour un certain $$ n $$. Nous devons montrer que cela implique $$ 2 < u_{n+1} < 4 $$. Calculons $$ u_{n+1} $$ : $$ u_{n+1} = \frac{8(u_n - 1)}{u_n + 2} $$ **Montrons que $$ u_{n+1} < 4 $$ :** $$ u_{n+1} < 4 \iff \frac{8(u_n - 1)}{u_n + 2} < 4 $$ $$ \iff 8(u_n - 1) < 4(u_n + 2) $$ $$ \iff 8u_n - 8 < 4u_n + 8 $$ $$ \iff 4u_n < 16 \iff u_n < 4 $$ Cela est vrai par hypothèse. **Montrons que $$ u_{n+1} > 2 $$ :** $$ u_{n+1} > 2 \iff \frac{8(u_n - 1)}{u_n + 2} > 2 $$ $$ \iff 8(u_n - 1) > 2(u_n + 2) $$ $$ \iff 8u_n - 8 > 2u_n + 4 $$ $$ \iff 6u_n > 12 \iff u_n > 2 $$ Cela est également vrai par hypothèse. Ainsi, par récurrence, nous avons montré que $$ 2 < u_n < 4 $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$. ### 2. a) Montrer que $$ \left(u_n\right)_{n} $$ est croissante Nous devons montrer que $$ u_{n+1} > u_n $$ : $$ u_{n+1} - u_n = \frac{8(u_n - 1)}{u_n + 2} - u_n $$ $$ = \frac{8(u_n - 1) - u_n(u_n + 2)}{u_n + 2} $$ $$ = \frac{8u_n - 8 - u_n^2 - 2u_n}{u_n + 2} $$ $$ = \frac{-u_n^2 + 6u_n - 8}{u_n + 2} $$ Nous devons montrer que $$ -u_n^2 + 6u_n - 8 > 0 $$ pour $$ 2 < u_n < 4 $$. Calculons le discriminant de $$ -u^2 + 6u - 8 $$ : $$ D = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8) = 36 - 32 = 4 $$ Les racines sont : $$ u = \frac{6 \pm 2}{2} = 4 \quad \text{et} \quad 2 $$ La parabole est concave vers le bas, donc $$ -u_n^2 + 6u_n - 8 > 0 $$ pour $$ 2 < u_n < 4 $$. Ainsi, $$ u_{n+1} > u_n $$, ce qui montre que la suite est croissante. **Conclusion :** Puisque $$ \left(u_n\right)_{n} $$ est croissante et $$ 2 < u_n < 4 $$, nous avons $$ 3 \leq u_n < 4 $$. ### b) En déduire que $$ \left(u_n\right)_{n} $$ est convergente Une suite croissante et bornée est convergente. Donc, $$ \left(u_n\right)_{n} $$ est convergente. ### 3. a) Montrer que $$ 0 < 4 - u_{n+1} \leq \frac{4}{5}(4 - u_n) $$ Nous avons : $$ 4 - u_{n+1} = 4 - \frac{8(u_n - 1)}{u_n + 2} = \frac{4(u_n + 2) - 8(u_n - 1)}{u_n + 2} $$ $$ = \frac{4u_n + 8 - 8u_n + 8}{u_n + 2} = \frac{-4u_n + 16}{u_n + 2} $$ $$ = \frac{4(4 - u_n)}{u_n + 2} $$ Puisque $$ 2 < u_n < 4 $$, nous avons $$ 4 - u_n > 0 $$ et $$ u_n + 2 > 4 $$. Donc : $$ 0 < 4 - u_{n+1} = \frac{4(4 - u_n)}{u_n + 2} \leq \frac{4(4 - u_n)}{4} = 4 - u_n $$ Pour montrer que $$ 4 - u_{n+1} \leq \frac{4}{5}(4 - u_n) $$, il suffit de montrer que : $$ \frac{4(4 - u_n)}{u_n + 2} \leq \frac{4}{5}(4 - u_n) $$ $$ \iff 5 \cdot 4(4 - u_n) \leq 4(4 - u_n)(u_n + 2) $$ $$ \iff 20(4 - u_n) \leq 4(4 - u_n)(u_n + 2) $$ $$ \iff 20 \leq 4(u_n + 2) $$ $$ \iff 5 \leq u_n + 2 $$ Cela est vrai puisque $$ u_n < 4 $$. ### b) En déduire que $$ 0 < 4 - u_n \leq \left(\frac{4}{5}\right)^{n+1} $$ Nous avons montré que $$ 0 < 4 - u_{n+1} \leq \frac{4}{5}(4 - u_n) $$. En itérant, nous obtenons : $$ 4 - u_n \leq \left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}(4 - u_0) = \left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}(4 - 3) = \left(\frac{4}{5}\right)^{n+1} $$ ### Calculer $$ \lim_{n \to \infty} u_n $$ Puisque $$ 4 - u_n \to 0 $$ lorsque $$ n \to \infty $$, nous avons : $$ \lim_{n \to \infty} u_n = 4 $$ ### 4. a) Montrer que $$ \left(v_n\right)_{n} $$ est une suite géométrique de raison $$ \frac{2}{2} $$ Nous avons : $$ v_n = \frac{u_n - 4}{u_n - 2} $$ Calculons $$ v_{n+1} $$ : $$ v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 4}{u_{n+1} - 2} $$ En utilisant $$ u_{n+1} = \frac{8(u_n - 1)}{u_n + 2} $$, nous avons : $$ u_{n+1} - 4 = \frac{8(u_n - 1)}{u_n + 2} - 4 = \frac{8(u_n - 1) - 4(u_n + 2)}{u_n + 2} = \frac{8u_n - 8 - 4u_n - 8}{u_n + 2} = \frac{4u_n - 16}{u_n + 2} $$ $$ u_{n+1} - 2 = \frac{8(u_n - 1)}{u_n + 2} - 2 = \frac{8(u_n - 1) - 2(u_n + 2)}{u_n + 2} = \frac{8u_n - 8 - 2u_n - 4}{u_n + 2} = \frac{6u_n - 12}{u_n + 2} $$ Ainsi, $$ v_{n+1} = \frac{\frac{4u_n - 16}{u_n + 2}}{\frac{6u_n - 12}{u_n + 2}} = \frac{4u_n - 16}{6u_n - 12} $$ $$ = \frac{4(u_n - 4)}{6(u_n - 2)} $$ Nous 1. $$ 2 < u_n < 4 $$ for all $$ n \in \mathbb{N} $$. 2. a) $$ u_n $$ is increasing; hence $$ 3 \leq u_n < 4 $$. b) $$ u_n $$ is convergent. 3. a) $$ 0 < 4 - u_{n+1} \leq \frac{4}{5}(4 - u_n) $$. b) $$ 0 < 4 - u_n \leq \left(\frac{4}{5}\right)^{n+1} $$, and $$ \lim_{n \to \infty} u_n = 4 $$. 4. $$ v_n $$ is a geometric sequence with a common ratio of $$ \frac{2}{2} $$.

On considère la suite \( \left(u_{n}\right)_{n} \) detinie par : \( u_{0}=3 \) eq \( (\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1}=\frac{8\left(u_{n}-1\right)}{u_{n}+2} \) 1. Montrer par récurrence que: \( \qquad \forall n \in \mathbb{N}) ; 2

Ask by Evans Bryant. in Morocco

Nov 28,2024

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