Answer
a. **Partición:**
\[
P = \{ -4, -3.5, -3, -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4 \}
\]
b. **Norma de la partición:**
\[
\|P\| = 0.5
\]
c. **Subintervalos:**
1. \([-4, -3.5]\)
2. \([-3.5, -3]\)
3. \([-3, -2.5]\)
4. \([-2.5, -2]\)
5. \([-2, -1.5]\)
6. \([-1.5, -1]\)
7. \([-1, -0.5]\)
8. \([-0.5, 0]\)
9. \([0, 0.5]\)
10. \([0.5, 1]\)
11. \([1, 1.5]\)
12. \([1.5, 2]\)
13. \([2, 2.5]\)
14. \([2.5, 3]\)
15. \([3, 3.5]\)
16. \([3.5, 4]\)
Solution
Claro, vamos a resolver cada parte paso a paso para calcular las sumas superior e inferior de la función \( f(x) = \sqrt{16 - x^{2}} \) en el intervalo \([-4, 4]\).
### a. Escriban la partición
Para dividir el intervalo \([-4, 4]\) en 16 subintervalos iguales, seguimos estos pasos:
1. **Determinar la longitud del intervalo total:**
\[
L = 4 - (-4) = 8
\]
2. **Calcular la longitud de cada subintervalo (\( \Delta x \)):**
\[
\Delta x = \frac{L}{n} = \frac{8}{16} = 0.5
\]
3. **Definir los puntos de la partición:**
\[
x_i = -4 + i \cdot \Delta x \quad \text{para} \quad i = 0, 1, 2, \ldots, 16
\]
Por lo tanto, la partición \( P \) es:
\[
P = \{ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{16} \} = \{ -4, -3.5, -3, -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4 \}
\]
### b. Calculen la norma de la partición
La **norma de la partición** (\( \|P\| \)) es la longitud del subintervalo más largo. Dado que hemos dividido el intervalo \([-4, 4]\) en 16 subintervalos de igual longitud:
\[
\|P\| = \Delta x = 0.5
\]
### c. Escriban los subintervalos
A continuación, se presentan los 16 subintervalos de la partición \( P \):
1. \([x_0, x_1] = [-4, -3.5]\)
2. \([x_1, x_2] = [-3.5, -3]\)
3. \([x_2, x_3] = [-3, -2.5]\)
4. \([x_3, x_4] = [-2.5, -2]\)
5. \([x_4, x_5] = [-2, -1.5]\)
6. \([x_5, x_6] = [-1.5, -1]\)
7. \([x_6, x_7] = [-1, -0.5]\)
8. \([x_7, x_8] = [-0.5, 0]\)
9. \([x_8, x_9] = [0, 0.5]\)
10. \([x_9, x_{10}] = [0.5, 1]\)
11. \([x_{10}, x_{11}] = [1, 1.5]\)
12. \([x_{11}, x_{12}] = [1.5, 2]\)
13. \([x_{12}, x_{13}] = [2, 2.5]\)
14. \([x_{13}, x_{14}] = [2.5, 3]\)
15. \([x_{14}, x_{15}] = [3, 3.5]\)
16. \([x_{15}, x_{16}] = [3.5, 4]\)
Cada uno de estos subintervalos tiene una longitud de \( 0.5 \), correspondiente a la norma de la partición calculada anteriormente.
### Siguientes pasos: Cálculo de las sumas superior e inferior
Una vez establecida la partición y sus subintervalos, se puede proceder a calcular las sumas superior e inferior de la función \( f(x) = \sqrt{16 - x^{2}} \) sobre cada subintervalo y luego sumar estos valores para obtener las sumas totales. Este proceso implica:
1. **Identificar el supremo (máximo) y el ínfimo (mínimo) de \( f(x) \) en cada subintervalo.**
2. **Multiplicar estos valores por la longitud del subintervalo (\( \Delta x = 0.5 \)).**
3. **Sumar todos los productos para obtener las sumas superior e inferior.**
Si necesitas ayuda con estos cálculos, no dudes en decírmelo.
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