\( 22 g \) est la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par: \[ g(t)=t^{2}+7 \] a) Calculer le taux de variation de \( g \) entre 4 et \( 4+h \) avec \( h \neq 0 \). b) En déduire le nombre dérivé de \( g \) en 4 .

Pour le calcul du taux de variation de \( g \) entre \( 4 \) et \( 4 + h \), nous utilisons la formule suivante : \[ \text{Taux de variation} = \frac{g(4 + h) - g(4)}{(4 + h) - 4} \] Calculons d’abord \( g(4) \) et \( g(4 + h) \): \[ g(4) = 4^2 + 7 = 16 + 7 = 23 \] \[ g(4 + h) = (4 + h)^2 + 7 = (16 + 8h + h^2) + 7 = 23 + 8h + h^2 \] Maintenant, substituons ces valeurs dans la formule du taux de variation : \[ \text{Taux de variation} = \frac{(23 + 8h + h^2) - 23}{h} = \frac{8h + h^2}{h} = 8 + h \] Donc, le taux de variation de \( g \) entre \( 4 \) et \( 4 + h \) est \( 8 + h \). Pour la partie b), nous devons déterminer le nombre dérivé de \( g \) en \( 4 \). Cela se fait en prenant la limite du taux de variation lorsque \( h \) tend vers \( 0 \) : \[ g'(4) = \lim_{h \to 0} (8 + h) = 8 \] Ainsi, le nombre dérivé de \( g \) en \( 4 \) est \( 8 \).