$$ 22 g $$ est la fonction définie sur $$ \mathbb{R} $$ par: $$ g(t)=t^{2}+7 $$ a) Calculer le taux de variation de $$ g $$ entre 4 et $$ 4+h $$ avec $$ h \neq 0 $$. b) En déduire le nombre dérivé de $$ g $$ en 4 .

Question

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.

### a) Calculer le taux de variation de $$ g $$ entre $$ 4 $$ et $$ 4+h $$

Le taux de variation de la fonction $$ g $$ entre les points $$ 4 $$ et $$ 4+h $$ est donné par la formule :

$$
\text{Taux de variation} = \frac{g(4+h) - g(4)}{(4+h) - 4}
$$

Calculons d'abord $$ g(4) $$ et $$ g(4+h) $$.

1. **Calcul de $$ g(4) $$** :
   $$
   g(4) = 4^2 + 7 = 16 + 7 = 23
   $$

2. **Calcul de $$ g(4+h) $$** :
   $$
   g(4+h) = (4+h)^2 + 7 = (16 + 8h + h^2) + 7 = 23 + 8h + h^2
   $$

Maintenant, substituons ces valeurs dans la formule du taux de variation :

$$
\text{Taux de variation} = \frac{(23 + 8h + h^2) - 23}{(4+h) - 4} = \frac{8h + h^2}{h}
$$

En simplifiant, nous obtenons :

$$
\text{Taux de variation} = 8 + h
$$

### b) En déduire le nombre dérivé de $$ g $$ en $$ 4 $$

Le nombre dérivé de $$ g $$ en $$ 4 $$ est donné par la limite du taux de variation lorsque $$ h $$ tend vers $$ 0 $$ :

$$
g'(4) = \lim_{h \to 0} (8 + h)
$$

En prenant la limite, nous avons :

$$
g'(4) = 8 + 0 = 8
$$

### Conclusion

Le taux de variation de $$ g $$ entre $$ 4 $$ et $$ 4+h $$ est $$ 8 + h $$ et le nombre dérivé de $$ g $$ en $$ 4 $$ est $$ 8 $$.
a) Le taux de variation de $$ g $$ entre $$ 4 $$ et $$ 4+h $$ est $$ 8 + h $$. b) Le nombre dérivé de $$ g $$ en $$ 4 $$ est $$ 8 $$.

est la fonction définie sur par:

a) Calculer le taux de variation de entre 4 et
avec .
b) En déduire le nombre dérivé de en 4 .

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est la fonction définie sur par: a) Calculer le taux de variation de entre 4 et avec . b) En déduire le nombre dérivé de en 4 .