14. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см. Апофема утворює з площиною 1 балл основи кут \( 60^{\circ} \). Обчисліть площу бічної поверхні піраміди.

Для правильної чотирикутної піраміди з висотою \( h = 3 \) см та апофемою, яка утворює кут \( 60^\circ \) з площиною основи, обчислимо площу бічної поверхні. 1. **Знайдемо апофему (скосову висоту) \( l \):** \[ \cos(60^\circ) = \frac{h}{l} \implies l = \frac{h}{\cos(60^\circ)} = \frac{3}{0.5} = 6 \text{ см} \] 2. **Знайдемо сторону основи \( a \):** Використовуючи теорему Піфагора для трикутника, утвореного висотою піраміди, половиною сторони основи та апофемою: \[ l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \implies 6^2 = 3^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \implies 36 = 9 + \frac{a^2}{4} \] \[ \frac{a^2}{4} = 27 \implies a^2 = 108 \implies a = 6\sqrt{3} \text{ см} \] 3. **Обчислимо площу бічної поверхні \( S_{\text{біч}} \):** Бічна поверхня складається з чотирьох рівних трикутників. Площа одного трикутника: \[ S_{\text{трик}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3} \text{ см}² \] Отже, загальна площа бічної поверхні: \[ S_{\text{біч}} = 4 \cdot S_{\text{трик}} = 4 \cdot 18\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \text{ см}² \] **Відповідь:** Площа бічної поверхні піраміди дорівнює \( 72\sqrt{3} \) см².